[論文レビュー] Conformally Einstein-Maxwell Kähler metrics and structure of the automorphism group

Akito Futaki, Hajime Ono|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、 conformally Einstein-Maxwell Kähler多様体の自己同型群に関して、Lichnerowicz-Matsushima定理を拡張する還元性定理を確立する。Donaldson-Fujiki枠組みにおけるCalabi汎関数のヘッセ型公式を用いて、正則ベクトル場の部分代数が再び再帰的であることを証明し、 extremal Kähler計量に関するCalabiの構造定理を、Killingポテンシャルに関連するf-extremal計量の設定に一般化する。CP²の一点ブLOW-UP上での明示的例も提示する。

ABSTRACT

Let $(M,g)$ be a compact Kähler manifold and $f$ a positive smooth function such that its Hamiltonian vector field $K = J\mathrm{grad}_g f$ for the Kähler form $ω_g$ is a holomorphic Killing vector field. We say that the pair $(g,f)$ is conformally Einstein-Maxwell Kähler metric if the conformal metric $ ilde g = f^{-2}g$ has constant scalar curvature. In this paper we prove a reductiveness result of the reduced Lie algebra of holomorphic vector fields for conformally Einstein-Maxwell Kähler manifolds, extending the Lichnerowicz-Matsushima Theorem for constant scalar curvature Kähler manifolds. More generally we consider extensions of Calabi functional and extremal Kähler metrics, and prove an extension of Calabi's theorem on the structure of the Lie algebra of holomorphic vector fields for extremal Kähler manifolds. The proof uses a Hessian formula for the Calabi functional under the set up of Donaldson-Fujiki picture.

研究の動機と目的

• 正則ベクトル場の再帰的性質に関するLichnerowicz-Matsushima定理を、conformally Einstein-Maxwell Kähler多様体へ拡張すること。
• extremal Kähler計量に関するCalabiの構造定理を、Killingポテンシャルに関連するf-extremal計量の設定へ一般化すること。
• Donaldson-Fujiki図式におけるCalabi汎関数のヘッセ型公式を確立し、計量の共形変形下での臨界点解析を可能にすること。
• CP²の一点ブLOW-UPおよび他の複素多様体上でのf-extremal Kähler計量の明示的構成を行うこと。
• 境界条件および正定値性制約から導かれる係数に関する代数的条件を用いて、計量アンサッツの解空間を特徴付けること。

提案手法

• Calabi汎関数の定式化と、共形変形下でのスカラー曲率の第一変分の計算を、Donaldson-Fujiki図式を用いて行う。
• Wang [29] および第一著者の先行研究 [14] の技術を、conformally Einstein-Maxwell設定に適応して、Calabi汎関数のヘッセ型公式を導出する。
• f-extremal Kähler計量という概念を導入し、Killingベクトル場のハミルトニアン関数fを用いて、extremal Kähler計量の一般化を行う。
• Kähler-RicciソリトンやSasaki-Einstein計量と同様の体積最小化の変分的アプローチを用いて、臨界点を同定する。
• CP²の一点ブLOW-UP上での明示的例を構成するため、係数 (A, B, c, d, e) の代数的連立方程式をパラメータ a, b, m で解く。
• Lemma 4.1 を適用して、関数 Ψ(t) が (a,b) 上で正であることを確認し、計量が適切に定義され正定値であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 conformally Einstein-Maxwell Kähler多様体上での正則ベクトル場の部分代数は、再帰的であるか。Lichnerowicz-Matsushima定理の拡張として成立するか。
• RQ2 extremal Kähler多様体の自己同型群に関するCalabiの構造定理は、f-extremal設定へ一般化可能か。
• RQ3 conformally Einstein-Maxwell計量の下で、Donaldson-Fujiki図式におけるCalabi汎関数のヘッセ構造はいかなるものか。
• RQ4 CP²のブLOW-UP上での正定値f-extremal Kähler計量を実現するための、計量係数に課される明示的条件は何か。
• RQ5 明示的構成において、共形因子 Ψ(t) の正定値性および境界挙動を解析的にどのように検証できるか。

主な発見

• conformally Einstein-Maxwell Kähler多様体上での正則ベクトル場の部分代数は再帰的であり、Lichnerowicz-Matsushima定理が拡張された。
• Donaldson-Fujiki設定下で、Calabi汎関数のヘッセ型公式が導出され、計量の共形変形下での臨界点解析が可能となった。
• CP²の一点ブLOW-UP上でのf-extremal Kähler計量の明示的解が構成され、係数 A, B, c, d, e がパrameter a, b, m でパrameter化されている。
• B=0 のとき、A=0, c=−4(m−1)(2m−3)/(b−a), d=−4(a+b)(m−1)(2m−1)/(b−a), e=4abm(2m−1)/(b−a) が得られ、Ψ(t)=−2(t−a)(t−b)/(b−a) >0 が (a,b) 上で成り立つ。
• a=1, b=2 のとき、係数 A, B, c, d, e は m で明示的に計算され、Lemma 4.1 を用いて Ψ(t) が (1,2) 上で正であることが示された。
• Ψ(t) が (a,b) 上で正であることは、条件 αδ>0 および f′(t)/t が高々2つの零点を持つことから保証され、誤った臨界点の出現を防ぐ。