[論文レビュー] Congruence between Duke-Imamoglu-Ikeda lifts and non-Duke-Imamoglu-Ikeda lifts

Hidenori Katsurada|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、モジュラー形式のヘッケ体における素イデアルが、Duke-Imamoglu-Ikeda上昇と非上昇Siegel尖域形式の間の合同関係を誘導するための基準を確立する。その基準によれば、このような合同関係が生じるのは、対応する楕円モジュラー形式の標準L関数およびアドジョイントL関数の特別値の積の代数的部の分子を割る素数である場合に限る。これは、ある整域条件を満たす場合に限る。

ABSTRACT

Let k and n be positive even integers. For a cuspidal Hecke eigenform g in the Kohnen plus subspace of weight k-n/2+1/2 and level 4, let I(g) be the Duke-Imamoglu-Ikeda lift of g in the space of cusp forms of weight k for Sp(n,Z), and f the primitive form of weight 2k-n for SL(2,Z) corresponding to g under the Shimura correspondence. We then characterize prime ideals giving congruence between I(g) and another cuspidal Hecke eigenform not coming from the Duke-Imamoglu-Ikeda lift in terms of the specilal values of the Hecke L-function and the adjoint L-function of f.

研究の動機と目的

• Siegelモジュラー形式の空間における次数nと重さkにおいて、Duke-Imamoglu-Ikeda上昇と非上昇Siegel尖域形式の間の合同関係を誘導する素イデアルを特徴づけること。
• Saito-KurokawaおよびDoi-Naganuma上昇の場合の既存の合同関係に関する結果を、Duke-Imamoglu-Ikeda上昇の文脈にまで拡張すること。
• 対応する楕円モジュラー形式に付随するL関数の特別値を用いて、このような合同関係の基準を提供すること。
• Duke-Imamoglu-Ikeda構成の文脈において、上昇と非上昇形式の間の合同関係に関する予想を解決すること。
• 特別値の数論的計算を通じて、Ikeda上昇と非Ikeda上昇の間の非自明な合同関係の存在を明示的に示すこと。

提案手法

• Hecke固有形式gをΓ₀(4)のKohnenの正の部分空間において重さk−n/2+1/2とするとき、Shimura対応を用いて、SL₂(ℤ)における重さ2k−nの原始的形式fと関連付ける。
• 標準L関数および標準ゼータ関数を用いて、Spₙ(ℤ)における重さkのSiegel尖域形式としてDuke-Imamoglu-Ikeda上昇Iₙ(g)を構成する。
• Siegelモジュラー形式の標準ゼータ関数理論を適用し、Iₙ(g)のフーリエ係数をfのL関数の特別値に関連付ける。
• 関数等式およびWaldspurger型の公式を用いて、L(2m, Iₙ(g), St)の代数的部をL(s, f)およびL(s, f, Ad)の特別値に関連付ける。
• Petersson内積のノルムを割らないように保証するため、⟨f,f⟩ / (Ω(f,+,𝒜ₚ)Ω(f,−,𝒜ₚ)) の比に整域条件を課す。
• Sturmの境界を用いて、小さな素数におけるHecke固有値の合同関係が、fとf′の間のグローバルな合同関係を意味することを示し、Pが正規化された内積を割るならば、これは矛盾を引き起こす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー形式fのヘッケ体におけるどの素イデアル𝔓が、そのDuke-Imamoglu-Ikeda上昇と非上昇Siegel尖域形式の間の合同関係を誘導するか？
• RQ2 このような合同関係の素数は、fに付随するL関数の特別値を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 Iₙ(g)と非Ikeda上昇との間の合同関係が、基礎となる楕円モジュラー形式fとf′の間の合同関係を意味するのはどのような条件下か？
• RQ4 特別値の計算を用いて、Ikeda上昇と非Ikeda上昇との間の具体的な例を構成できるか？
• RQ5 ⟨f,f⟩ / (Ω(f,+,𝒜ₚ)Ω(f,−,𝒜ₚ)) の整域性は、誤った合同関係を除外するために果たす役割は何か？

主な発見

• 素イデアル𝔓が、fのヘッケ体に属するとき、L(k,f) × ∏_{i=1}^{n/2−1} L(2i+1,f,Ad)の代数的部の分子を割るならば、かつその場合に限り、Iₙ(g)と非Duke-Imamoglu-Ikeda上昇との間の合同関係が誘導される。
• n=4およびk=18の場合、素数211はfのヘッケ体で分解し、その因子の一つが特別値積の分子を割るため、合同関係の素数となる。
• 合同関係の素数211（またはその共役）は、他のIkeda上昇I₄(g₂)に関しては合同関係の素数でないため、別の上昇によって引き起こされたものではないことが確認される。
• したがって、I₄(g)が生成する空間の直交補空間に関して、211は真の合同関係の素数であることが示され、非自明な合同関係の存在が証明される。
• 内積比がP-整域であることを示すことで、合同関係が他のIkeda上昇によって生じる可能性を排除でき、これはそのような上昇の存在を矛盾させる。
• この例は、定理4.7の基準が有効であり、次数4、重さ18のSiegelモジュラー形式の空間において非自明な合同関係を生じることを確認している。