[論文レビュー] Conjectures on the normal covering number of the finite symmetric and alternating groups

Daniela Bubboloni, Cheryl E. Praeger+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、対称群と交代群の正規被覆数 γ(Sₙ) および γ(Aₙ) に対する予想を提示する。これは、すべての群の元を被覆するために必要な、真の部分群の共轭類の最小数として定義される。n が少なくとも2つの異なる素因数を持つ場合（素数の冪や2つの素数の積を除く）、γ(Sₙ) = g(n) = (n/2)(1−1/p₁)(1−1/p₂)+2 であると予想する。ここで p₁, p₂ は n の2番目に小さい素因数である。主な貢献は、無限族（例：n=15q や n=6q）に対して、強力な計算的および理論的証拠を提示し、予想された式が上界および下界の両方として成立することを示している。

ABSTRACT

Let $γ(S_n)$ be the minimum number of proper subgroups $H_i$ of the symmetric group $S_n$ such that each element in $S_n$ lies in some conjugate of one of the $H_i.$ In this paper we conjecture that $$γ(S_n)=\frac{n}{2}\left(1-\frac{1}{p_1} ight) \left(1-\frac{1}{p_2} ight)+2,$$ where $p_1,p_2$ are the two smallest primes in the factorization of $n$ and $n$ is neither a prime power nor a product of two primes. Support for the conjecture is given by a previous result for $n=p_1^{α_1}p_2^{α_2},$ with $(α_1,α_2) eq (1,1)$. We give further evidence by confirming the conjecture for integers of the form $n=15q$ for an infinite set of primes $q$, and by reporting on a Magma computation. We make a similar conjecture for $γ(A_n)$, when $n$ is even, and provide a similar amount of evidence.

研究の動機と目的

• n が少なくとも2つの異なる素因数を持つ場合の有限対称群および交代群 G=Sₙ および G=Aₙ における正規被覆数 γ(G) の正確な値を特定すること。
• n の最小の素因数に基づいて、γ(Sₙ) および γ(Aₙ) の明確な式を、構造的および数論的性質を用いて確立すること。
• 提案された関数 g(n) = (n/2)(1−1/p₁)(1−1/p₂)+2 が、それぞれ γ(Sₙ) および γ(Aₙ) の上界および下界であることを理論的および計算的証拠で示すこと。
• γ(G) が n に対して線形に増加するかどうかという未解決問題を解消し、線形上界における最適定数を同定すること。

提案手法

• n の2番目に小さい素因数を p₁, p₂ とすると、g(n) = (n/2)(1−1/p₁)(1−1/p₂)+2 を γ(Sₙ) および γ(Aₙ) の候補関数として提案する。
• 数論的議論を用いて、g(n)−2 が n/2 より小さい整数のうち、p₁ も p₂ も割り切らないものの個数に一致することを示し、g(n) が整数であることを確立する。
• 特に Sₙ および Aₙ の最大部分群の分類を用いた置換群論の結果を適用し、非推移的、非可換、または単純な部分群によってどのタイプの置換が被覆可能かを分析する。
• Magma を用いた計算により、複数の素因数を持つ最初の数百分間の n に対して予想を検証する。
• 命題 3.1 を用いて g(n) が γ(Sₙ) および γ(Aₙ) の上界であることを証明し、特定の無限族に対して背理法を用いて定理 1.1 で下界であることを確立する。
• 特に S_k ≀ S_m のような wreath 積の共轭類を用いた置換タイプの被覆を分析することで、g(n) 個の成分が必須であることを強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n が少なくとも2つの異なる素因数を持ち、n ≠ p₁p₂ である場合、関数 g(n) = (n/2)(1−1/p₁)(1−1/p₂)+2 は γ(Sₙ) の正確な値であるか？
• RQ2 n が偶数で少なくとも2つの異なる素因数を持ち、n ≠ 2p₂, 12 である場合、同じ式 g(n) は γ(Aₙ) の正確な値を与えるか？
• RQ3 n=15q で q が素数かつ q≡2 mod 15、q≠12 mod 13 のとき、γ(Sₙ) = 4q+2 であるか？（予想がこの無限族で確認される。）
• RQ4 n=6q で q≥11 が素数のとき、γ(Aₙ) = q+2 であるか？（この無限族で予想が確認される。）
• RQ5 構造的群論および数論的制約を用いて、一般に g(n) が γ(Sₙ) および γ(Aₙ) の両方の上界および下界であることを証明できるか？

主な発見

• q が素数で q≡2 mod 15 かつ q≠12 mod 13 である n=15q の場合、本稿は γ(Sₙ) = 4q+2 であることを証明し、この無限族における予想の妥当性を確認した。
• q≥11 が素数である n=6q の場合、本稿は γ(Aₙ) = q+2 であることを証明し、予想2に対する強い証拠を提供した。
• 命題 3.1 を用いて g(n) が γ(Sₙ) および γ(Aₙ) の上界であることが示された。また、下界であることを確立する戦略も提示された。
• Sₙ および Aₙ の最小基本集合において、非推移的および非可換部分群（特に S_k ≀ S_m のような wreath 積）が、すべての置換タイプを被覆するために不可欠であることが示された。
• Magma を用いた計算的証拠により、複数の素因数を持つ最初の数百分間の n に対して両予想が確認された。
• 分析により、タイプ [1,n−1]（Sₙ における対称置換）は、非推移的または非可換成分の集合に属するいかなる部分群でも被覆できない。このため、最小サイズは g(n) 以上でなければならない。