[論文レビュー] Conjugate Bailey pairs

Anne Schilling, S. Ole Warnaar|ArXiv.org|Jun 14, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 60被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、可解格子模型の1次元的配置和およびアフィンリ Lie 代数 A₁⁽¹⁾ の分数次元レベルのストリング関数を用いて、一般化された共役 Bailey ペアのクラスを確立する。これらの和のフェルミオン的表現を活用することで、分数次元レベルのストリング関数、パラフェルミオンキャラクター、A₁⁽¹⁾ の分岐関数に対する新しいフェルミオン的公式が得られるとともに、まだその Lie 代数的または組合せ的解釈が不明な新たな q 級数恒等式が明らかにされる。

ABSTRACT

In this paper it is shown that the one-dimensional configuration sums of the solvable lattice models of Andrews, Baxter and Forrester and the string functions associated with admissible representations of the affine Lie algebra A$_1^{(1)}$ as introduced by Kac and Wakimoto can be exploited to yield a very general class of conjugate Bailey pairs. Using the recently established fermionic or constant-sign expressions for the one-dimensional configuration sums, our result is employed to derive fermionic expressions for fractional-level string functions, parafermion characters and A$_1^{(1)}$ branching functions. In addition, $q$-series identities are obtained whose Lie algebraic and/or combinatorial interpretation is still lacking.

研究の動機と目的

• 可解格子模型の配置和と A₁⁽¹⁾ のストリング関数を用いて、一般化された共役 Bailey ペアのクラスを確立すること。
• 分数次元レベルのストリング関数、パラフェルミオンキャラクター、A₁⁽¹⁾ の分岐関数に対するフェルミオン的表現を導出すること。
• Lie 代数的または組合せ的解釈が不明な新たな q 級数恒等式を明らかにすること。
• 従来の Bailey レムマの応用を超えて、共役 Bailey ペアの力が、Rogers–Ramanujan 型恒等式を生成する能力を示すこと。
• 配置和とストリング関数に基づく統一的枠組みを用いて、既知の分割恒等式を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• Andrews, Baxter, Forrester の可解格子模型からの1次元的配置和を用いる。
• 配置和のフェルミオン的（符号不変）表現を適用し、正確な組合せ的形を導出する。
• Kac–Wakimoto の枠組みを用いて、A₁⁽¹⁾ 表現の分数次元レベルのストリング関数から共役 Bailey ペアを構成する。
• Bailey レムマおよびその共役版を用い、共役 Bailey ペア変換を反復することで新たな恒等式を生成する。
• q 二項定理および q 級数恒等式（特に Jacobi の三重積）を用い、恒等式の簡略化と検証を行う。
• q 二項係数の帰納法および対称性を用いて、格子パスおよび分割の和を含む恒等式の証明を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 配置和と分数次元レベルのストリング関数を用いて、一般化された共役 Bailey ペアのクラスを構成可能か？
• RQ2 配置和のフェルミオン的表現は、ストリング関数および分岐関数に対する新たなフェルミオン的公式を導くか？
• RQ3 格子模型の和と共役 Bailey ペアの相互作用から、どのような新たな q 級数恒等式が生じるか？
• RQ4 共役 Bailey ペアの構成は、Gordon や Göllnitz–Gordon、Rogers–Ramanujan のような既知の分割恒等式を再現可能か？
• RQ5 新たに発見された q 級数恒等式の Lie 代数的または組合せ的意義は何か？

主な発見

• A₁⁽¹⁾ の配置和と分数次元レベルのストリング関数から、一般化された共役 Bailey ペアのクラスが導出された。
• 分数次元レベルのストリング関数、パラフェルミオンキャラクター、A₁⁽¹⁾ の分岐関数に対するフェルミオン的表現が得られた。
• 定理 8.4 の恒等式は、既知の分割恒等式を一般化する：(p,p')=(1,3), δ=1 のとき、Andres の Gorden の定理の解析的類似を導く。δ=0 のとき、Bressoud の偶数モジュラス一般化を回復する。
• (p,p')=(1,4), δ=1 のとき、恒等式は Göllnitz–Gordon 恒等式の一般化を回復する。δ=0 のとき、Rogers–Ramanujan 型恒等式を導く。
• 本稿では、現在のところ既知の Lie 代数的または組合せ的解釈のない新たな q 級数恒等式を特定した。
• 命題 8.2 の証明により、配置和と q 二項係数の直接的な関係が確立され、特定の偶奇性および範囲条件の下で導出された恒等式の正当性が裏付けられた。