[論文レビュー] Connecting Constructive Notions of Ordinals in Homotopy Type Theory

Nicolai Kraus, Fredrik Nordvall Forsberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Logic, programming, and type systems参考文献 28被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、ホモトピー型理論における順序数の3つの構成的定式化—カントール標準形（Cnf）、ブローウェル木（Brw）、拡張的wellfounded順序（Ord）—を結びつける。CnfからBrwへの構造を保つ埋め込み、およびBrwからOrdへの埋め込みを確立し、3つの形式的体系がすべてwellfoundedで拡張的順序を備え、算術演算をサポートしていることを示す。可解性はその系列に沿って低下する。主な貢献は、立方体Agdaにおける一貫性のある公理的枠組みの下で、順序数表現の階層を形式化し、それらの整合性を示したことである。

ABSTRACT

In classical set theory, there are many equivalent ways to introduce ordinals. In a constructive setting, however, the different notions split apart, with different advantages and disadvantages for each. We consider three different notions of ordinals in homotopy type theory, and show how they relate to each other: A notation system based on Cantor normal forms, a refined notion of Brouwer trees (inductively generated by zero, successor and countable limits), and wellfounded extensional orders. For Cantor normal forms, most properties are decidable, whereas for wellfounded extensional transitive orders, most are undecidable. Formulations for Brouwer trees are usually partially decidable. We demonstrate that all three notions have properties expected of ordinals: their order relations, although defined differently in each case, are all extensional and wellfounded, and the usual arithmetic operations can be defined in each case. We connect these notions by constructing structure preserving embeddings of Cantor normal forms into Brouwer trees, and of these in turn into wellfounded extensional orders. We have formalised most of our results in cubical Agda.

研究の動機と目的

• ホモトピー型理論における3つの異なる構成的順序数の概念—カントール標準形、ブローウェル木、拡張的wellfounded順序—を統一すること。
• これらの概念が、拡張性やwellfounded性といった順序数に期待される基本的性質を満たしていることを確立すること。
• より単純な順序数表現からより複雑な表現への忠実で構造を保つ埋め込みを構築し、それらが共通の公理的枠組みの下で整合的であることを示すこと。
• 3つの形式的体系における等価性、順序、算術演算の可解性のトレードオフを分析すること。
• 結果を立方体Agdaで形式化し、証明支援システムにおける構成的順序数算術の検証された基盤を提供すること。

提案手法

• カントール標準形における算術演算を定義し、順序数の抽象的公理的枠組みを用いてその正しさを証明する。
• 0、後続、および可算列の上限を生成子とする帰納的型としてブローウェル木を導入し、高階帰納的型を用いて忠実性を保証する。
• 順序と算術演算を保つ埋め込み CtoB : Cnf → Brw を構成し、Cnf が Brw に埋め込まれることを示す。
• BtoO(a) = Σ(y : Brw).(y < a) として BtoO : Brw → Ord を定義し、それが単射で順序を保つ埋め込みであることを証明する。
• 排中律の下で BtoO がシミュレーションであることを証明し、その仮定が失敗する場合、WLPO と関連することを示し、これが必要不可欠であることを示す。
• 立方体Agdaですべての結果を形式化し、高階帰納的型と同一視の公理のサポートを活用して、構成の正当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構成的枠組みにおいて、カントール標準形、ブローウェル木、拡張的wellfounded順序は、等価性、順序、算術演算の可解性に関してどのように比較できるか？
• RQ2 カントール標準形からブローウェル木への忠実で構造を保つ埋め込みを構築できるか？また、算術演算を保つのか？
• RQ3 ブローウェル木から拡張的wellfounded順序への埋め込みがシミュレーションであるか？この性質が成り立つために必要な基礎的原理は何か？
• RQ4 3つの順序数定式化は、ホモトピー型理論において、拡張性やwellfounded性といった古典的公理的性質をどの程度満たしているか？
• RQ5 型理論の証明的強さと、それが表現可能な順序数との関係は何か？特に高階帰納的型や帰納的再帰的定義との関係において。

主な発見

• CtoB : Cnf → Brw は順序と算術演算を保ち、単射である。カントール標準形がブローウェル木に忠実に埋め込まれることを示す。
• BtoO : Brw → Ord は単射で順序を保つ埋め込みであり、各ブローウェル木をその下方向集合に写像し、順序構造を保つ。
• 排中律の下では BtoO はシミュレーションであるが、構成的には成立しない。BtoO がシミュレーションであるという仮定は WLPO を含意し、これは既知の構成的禁断である。
• BtoO は後続演算を忠実に保たない：BtoO(succ x) ≥ BtoO x ⊎1 であり、逆の不等号が成り立つと WLPO が導かれる。これは算術の過剰近似を示す。
• Brw 上で (ω ≤ _) は可解であるが、(ω < _) は WLPO が成立する場合にのみ可解である。これは階層における可解性のトレードオフを強調する。
• 立方体Agdaにおける形式化により、すべての構成の正当性が確認され、BtoO の順序保存性や Cnf の算術的一致性といった主要な結果が検証された。