[論文レビュー] Connection with parallel totally skew-symmetric torsion on almost complex manifolds with Norden metric

Dimitar Mekerov|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ノーデン計量を備えたほぼ複素多様体上における平行で完全反対称なねじれを有する線形接続を考察する。このような接続がKähler曲率テンソルを持つための必要十分条件は、多様体がノーデン計量を備えた等方的Kähler多様体であることであり、この場合に限り、接続とLevi-Civita接続のスカラー曲率が一致することを証明している。

ABSTRACT

In the present work we consider an almost complex manifold with Norden metric (i.e. a metric with respect to which the almost complex structure is an antiisometry). On such a manifold we study a linear connection preserving the almost complex structure and the metric and having a totally skew-symmetric torsion tensor. We consider the case when the manifold admits a connection with parallel totally skew-symmetric torsion and the case when such connection has a Kaehler curvature tensor. We get necessary and sufficient conditions for an isotropic Kaehler manifold with Norden metric.

研究の動機と目的

• ほぼ複素多様体にノーデン計量を備えた線形接続において、平行で完全反対称なねじれを有するものを考察すること。
• このような接続がKähler曲率テンソルを持つための必要十分条件を特定すること。
• 接続とLevi-Civita接続のスカラー曲率の関係を明確にすること。
• 曲率およびねじれの性質に基づいて、ノーデン計量を備えた等方的Kähler多様体を特徴づけること。

提案手法

• 完全反対称ねじれテンソルTと平行性条件∇′T = 0を有する線形接続∇′を導入する。
• ∇′の曲率テンソルの公式 R′(x,y,z,w) = R(x,y,z,w) + 2g(Q(x,y),Q(z,w)) − g(Q(x,z),Q(y,w)) + g(Q(y,z),Q(x,w)) を用いる。
• 第一Bianchi恒等式とKählerテンソル条件を適用し、必要十分条件 ∑S g(Q(x,y),Q(z,w)) = 0 を導出する。
• ほぼ複素構造下での曲率成分の関係を表す恒等式 Q(Jx,Jy) = −Q(x,y) − (∇JxJ)y − (∇yJ)Jx を用いる。
• 曲率テンソルに対するトレース縮約を実行し、スカラー曲率τとτ**をノルム∥∇J∥²と関係付ける。
• 既知の[6]および[5]の恒等式を用いて、τ** + τ = −1/8∥∇J∥² および τ** + τ = −1/2∥∇J∥² を導出し、∥∇J∥² = 0 を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準Kähler多様体にノーデン計量を備えた、平行で完全反対称ねじれを有する接続がKähler曲率テンソルを持つための条件は何か？
• RQ2 接続∇′とLevi-Civita接続∇のスカラー曲率が等しくなるのはいつか？
• RQ3 ∇′のKähler曲率テンソルとNijenhuisテンソルの等方性の関係は何か？
• RQ4 平行で完全反対称ねじれを有する接続がKähler曲率テンソルを持つ場合、多様体は等方的Kähler多様体であると結論づけられるか？
• RQ5 Kähler曲率条件の下で、曲率成分R(x,y,z,w)とR(x,y,Jz,Jw)の関係は何か？

主な発見

• 平行で完全反対称ねじれを有する接続∇′がKähler曲率テンソルを持つための必要十分条件は、循環和∑S g(Q(x,y),Q(z,w)) = 0が成り立つことである。
• Kähler条件を満たすとき、∇′の曲率テンソルはR′(x,y,z,w) = R(x,y,z,w) + g(Q(x,y),Q(z,w))に簡略化される。
• 接続∇′とLevi-Civita接続∇のスカラー曲率が等しいのは、多様体がノーデン計量を備えた等方的Kähler多様体である場合に限る。
• ∇′が平行なねじれとKähler曲率テンソルの両方を有するならば、多様体はノーデン計量を備えた等方的Kähler多様体でなければならない。
• τ** + τ = −1/8∥∇J∥² および τ** + τ = −1/2∥∇J∥² が同時に成り立つことから、∥∇J∥² = 0が導かれ、多様体が等方的Kähler多様体であることが証明される。
• 多様体がノーデン計量を備えた等方的Kähler多様体であるための必要十分条件は、∇′と∇のスカラー曲率が一致することである。