[論文レビュー] Connective eccentric index of some graph operations

Nilanjan De, Anita Pal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2014

Graph theory and applications参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、結合、対称差、非排他的論理和、スプライス、二重グラフ操作などのさまざまなグラフ操作における接続的回折指数（CEI）の明示的公式を導出する。これらの合成グラフのCEIは、元のグラフの次数と回折距離に基づいて計算可能であり、構造的解析と回折距離伝播則を用いて閉形式の式が導出されている。

ABSTRACT

The connective eccentric index of a graph is a topological index involving degrees and eccentricities of vertices of the graph. In this paper, we have studied the connective eccentric index for double graph and double cover. Also we give the connective eccentric index for some graph operations such as joins, symmetric difference, disjunction and splice of graphs.

研究の動機と目的

• 結合、対称差、非排他的論理和、スプライス、二重グラフ操作などの基本的グラフ操作への接続的回折指数（CEI）の応用を拡張すること。
• 特に異なる構造的性質を有するグラフを組み合わせる際のグラフ合成におけるCEIの変化を特定すること。
• 元のグラフのCEIおよび構造的不変量（次数、回折距離）を用いたCEIの明示的解析的表現を提供すること。
• 回折距離が1（well-connectedな頂点）である頂点が、特に二重グラフや対称差において合成グラフのCEIに与える影響を分析すること。
• 完全グラフ、サイクル、ハイパーキューブなどの特定のグラフ族に対するCEIの先行結果を、より広範な合成グラフクラスへ一般化すること。

提案手法

• 接続的回折指数を $ C^\theta(G) = \frac{d_G(v)}{\rho_G(v)} $ として定義し、すべての頂点について合計する。ここで $ d_G(v) $ は頂点 $ v $ の次数、$ \rho_G(v) $ はその回折距離である。
• 二重グラフ $ G^* $ を分析し、$ G $ の各頂点 $ v_i $ が $ G^* $ において二つの頂点 $ x_i, y_i $ に対応することを示した。これらの頂点の次数は $ 2d_G(v_i) $ であり、回折距離は $ \rho_G(v_i) $ または $ \rho_G(v_i)+1 $ となる。これは $ v_i $ が well-connected かどうかに依存する。
• 公式 $ C^\theta(G^*) = 4C^\theta(G) - 2(n-1)\norm{n-1}_G $ を導出。ここで $ \norm{n-1}_G $ は $ G $ 内の次数 $ n-1 $（回折距離1）の頂点数を表す。
• 結合 $ G_1 + G_2 $ に対しては、$ G_1 $ のすべての頂点が $ G_2 $ のすべての頂点に隣接することを用い、次数と回折距離が変更されることを示し、$ C^\theta(G_1 + G_2) = |V(G_2)| \theta(G_1) + |V(G_1)| \theta(G_2) $ を導出。
• 対称差 $ G_1 \bigoplus G_2 $ に対しては、成分に well-connected な頂点がない場合、すべての頂点の回折距離が2になるという性質を用い、$ C^\theta(G_1 \bigoplus G_2) = \frac{1}{2} \big[ |V(G_2)|^2 \theta(G_1) + |V(G_1)|^2 \theta(G_2) - 2|E(G_1)||E(G_2)| \big] $ を導出。
• 非排他的論理和 $ G_1 \bigvee G_2 $ に対しては、次数の公式 $ d_{G_1 \bigvee G_2}(u_1,u_2) = |V(G_2)|d_{G_1}(u_1) + |V(G_1)|d_{G_2}(u_2) - d_{G_1}(u_1)d_{G_2}(u_2) $ を適用し、回折距離が常に2であることを用いて $ C^\theta(G_1 \bigvee G_2) = |E(G_1)||V(G_2)|^2 + |E(G_2)||V(G_1)|^2 - 2|E(G_1)||E(G_2)| $ を導出。
• スプライス $ S(G_1, G_2, v_1, v_2) $ に対しては、回折距離の公式 $ \rho(x) = \text{max}\big\big\rfloor $ を用い、最大値に基づく回折距離表現を用いて、$ G_1 $ および $ G_2 $ の頂点についての和としてCEIを導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重グラフ操作における接続的回折指数はどのように変化するか。また、元のグラフのCEIおよび頂点次数分布を用いた閉形式の式を導出できるか。
• RQ2 二つのグラフの結合、対称差、非排他的論理和、スプライスのCEIは何か。次数や回折距離といった構造的性質が結果にどのように影響するか。
• RQ3 回折距離が1（well-connected）である頂点は、二重グラフや対称差のような合成グラフのCEIにどのように影響を与えるか。
• RQ4 合成グラフのすべての頂点の回折距離が定数（例：2）になる条件は何か。このときCEIの計算はどのように簡略化されるか。
• RQ5 複雑なグラフ操作のCEIは、辺数、頂点数、総回折距離といった元のグラフの不変量のみを用いて表現可能か。

主な発見

• 二重グラフ $ G^* $ の接続的回折指数は $ C^\theta(G^*) = 4C^\theta(G) - 2(n-1)\norm{n-1}_G $ で与えられ、ここで $ \norm{n-1}_G $ は $ G $ 内の次数 $ n-1 $ の頂点数を表す。
• 結合 $ G_1 + G_2 $ に対しては、CEIが $ C^\theta(G_1 + G_2) = |V(G_2)| \theta(G_1) + |V(G_1)| \theta(G_2) $ で与えられる。ここで $ \theta(G) $ は $ G $ のすべての頂点の回折距離の和である。
• 対称差 $ G_1 \bigoplus G_2 $ に対しては、両方のグラフに well-connected な頂点がない場合、CEIは $ C^\theta(G_1 \bigoplus G_2) = \frac{1}{2} \big[ |V(G_2)|^2 \theta(G_1) + |V(G_1)|^2 \theta(G_2) - 2|E(G_1)||E(G_2)| \big] $ で与えられる。
• 非排他的論理和 $ G_1 \bigvee G_2 $ に対しては、同じ条件（well-connected な頂点なし）の下で $ C^\theta(G_1 \bigvee G_2) = |E(G_1)||V(G_2)|^2 + |E(G_2)||V(G_1)|^2 - 2|E(G_1)||E(G_2)| $ が成り立つ。
• スプライス $ S(G_1, G_2, v_1, v_2) $ に対しては、CEIが $ C^\theta(S) = \textstyle\bigsum_{x \notin v_1} \frac{d_S(x)}{\text{max}\big\big\rfloor + \textstyle\bigsum_{y \notin v_2} \frac{d_S(y)}{\text{max}\big\big\rfloor $ で与えられ、回折距離は距離と成分の回折距離に基づいて定義される。
• 完全グラフ $ K_n $、サイクル $ C_n $、ハイパーキューブ $ Q_m $、プリズム $ \text{Prism}_m $、アンチプリズム $ \text{Antiprism}_m $ などの標準的グラフのCEIは明示的に計算され、導出の基本事例として用いられている。