[論文レビュー] Consecutive patterns in inversion sequences II: avoiding patterns of relations

Juan S. Auli, Sergi Elizalde|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2019

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ひとこと要約

本稿は、3つの連続する要素間の関係の連続的パターン（例：＜、＞、＝）によって定義される逆順序列における関係の連続パターンを調査する。ラティスパスとの双対写像および記号的組合せ論を用いて、このようなパターンを避ける逆順序列の列挙を行い、カタラン数、フィボナッチ数、中心多項式数との関係を明らかにした。生成関数および双対的構成を用いて、ウィルフ同値性および単峰性の予想を証明した。

ABSTRACT

Inversion sequences are integer sequences $e=e_{1}e_{2}\\dots e_{n}$ such that $0\\leq e_{i}<i$ for each $i$. The study of patterns in inversion sequences was initiated by Corteel--Martinez--Savage--Weselcouch and Mansour--Shattuck in the classical (non-consecutive) case, and later by Auli--Elizalde in the consecutive case, where the entries of a pattern are required to occur in adjacent positions. In this paper we continue this investigation by considering {\\em consecutive patterns of relations}, in analogy to the work of Martinez--Savage in the classical case. Specifically, given two binary relations $R_{1},R_2\\in\\{\\leq,\\geq,<,>,=,\ eq\\}$, we study inversion sequences $e$ with no subindex $i$ such that $e_{i}R_{1}e_{i+1}R_{2}e_{i+2}$. By enumerating such inversion sequences according to their length, we obtain well-known quantities such as Catalan numbers, Fibonacci numbers and central polynomial numbers, relating inversion sequences to other combinatorial structures. We also classify consecutive patterns of relations into Wilf equivalence classes, according to the number of inversion sequences avoiding them, and into more restrictive classes that consider the positions of the occurrences of the patterns. As a byproduct of our techniques, we obtain a simple bijective proof of a result of Baxter--Shattuck and Kasraoui about Wilf-equivalence of vincular patterns, and we prove a conjecture of Martinez and Savage, as well as related enumeration formulas for inversion sequences satisfying certain unimodality conditions.

研究の動機と目的

• 逆順序列における連続的パターンの研究を拡張し、連続する要素間の3つの二項関係（例：≤、＜、＝）によって定義されるパターンを導入すること。
• このような連続的パターンを避ける逆順序列の列挙を行い、カタラン数やフィボナッチ数といったよく知られた組合せ的数列と関連付けること。
• 避けるパターンの数に基づいて、ウィルフ同値類にパターンを分類するとともに、出現位置に基づくより細かい分類も行うこと。
• マーティネスとサバージのヴィンクラルパターンに関するウィルフ同値性に関する予想を、本フレームワークを用いて証明すること。また、単峰的逆順序列の列挙式を確立すること。
• 開発されたフレームワークを用いて、バクサー–シャットックおよびカスラウイによるウィルフ同値性に関する結果の双対的証明を提供すること。

提案手法

• 連続的関係パターンを、Rᵢ ∈ {≤, ≥, <, >, =, ≠, −} である三つ組 (R₁, R₂, R₃) として定義し、連続する位置にこのような三つ組が現れない逆順序列を研究すること。
• 逆順序列を水平（E）、上向き（N）、下向き（Dₜ）ステップを含む下対角ラティスパスとして表現し、避ける条件を符号化するためにマルチマークド・ダイクパスを用いること。
• 特定のラティスパスのクラス（例：R′ₙ および R̃′ₙ）との明示的双対写像を構成することで、与えられた (R₁, R₂, R₃) を避ける逆順序列の生成関数を導出すること。
• 記号的技法および遷移行列技術を用いて、このような逆順序列の数の生成関数 I_(R₁,R₂,R₃)(z,t) を導出する。ここで t は長さ n を表す。
• これらの生成関数を用いて、正確な数え上げを行い、異なる関係三つ組間での避ける数の比較により、ウィルフ同値性を証明すること。
• 生成関数解析および小規模な n の計算を用いて、最大値までの距離（dist）統計量の分布が単峰的または対称的であることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの連続的関係パターン (R₁, R₂, R₃) が、カタラン数やフィボナッチ数といった既知の組合せ的数列と一致する逆順序列の数をもたらすか？
• RQ2 連続的関係パターンにおけるウィルフ同値性はどのように定義され分類されるのか？また、このような同値性の背後にある対称性や構造的性質は何か？
• RQ3 マーティネスとサバージのヴィンクラルパターンに関するウィルフ同値性に関する予想は、連続的関係パターンのフレームワークを用いて証明可能か？
• RQ4 与えられた (R₁, R₂, R₃) パターンを避ける逆順序列の数の生成関数は何か？また、ラティスパスの列挙とどのように関係するか？
• RQ5 (R₁, R₂, R₃) パターンを避ける逆順序列において、最大値までの距離（dist）統計量の分布は単峰的または対称的か？

主な発見

• (>, <, −) を避ける逆順序列の生成関数は、I_(>,<,−)(z,t) = [1 + z(2−t) − z²(1−t) − (1−z)√((1+z−zt)² − 4z(1−z+zt)/(1−z))]/(2z(2−z)) で与えられ、t=1 のとき有理生成関数となる。
• (≥, ≠, −) の生成関数は I_(≥,≠,−)(z,t) = (1−z−zt+2z²t)/((1−z)(1−zt)²) であり、有理生成関数と単峰的構造との直接的な関係を示している。
• (=, <, −) の生成関数は I_(=,<,−)(z,t) = (1−z)/(1−z−zt) であり、n ≥ 1 に対して長さ n のこのような逆順序列の数が 1 + t(t+1)^{n−1} であることを示唆しており、dist 分布の対称性を確認している。
• 本稿では、小規模な n の計算および生成関数解析に基づき、表2に示されたすべてのパターンについて、dist 統計量の分布が単峰的であることを証明した。
• バクサー–シャットックおよびカスラウイによるウィルフ同値性に関する結果の双対的証明が、本フレームワークを用いて確立された。
• 著者らは、 (>, ≤, −) および (>, <, −) の避ける数が等しいことを示し、それらを既知の組合せ的クラスと関連付けることで、マーティネス–サバージの予想を証明した。