[論文レビュー] Conservation Laws in Generalized Riemann-Silberstein Electrodynamics

J. Bergman, Siavoush M. Mohammadi+5 more|ArXiv.org|Mar 17, 2008

Ionosphere and magnetosphere dynamics参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、一般化されたリーマン＝シルベスタイン（RS）ベクトル形式を導入し、電磁場に対して10個の追加のポアンカレ不変量および関連する保存則を導出する。特にスピンに起因する量、例えばスピンエネルギー、運動量、トルクを明確に分離する。正負のヘリシティ状態を複素数値のRSベクトルで取り扱うことで、従来の文献で見過ごされていたスピン角運動量および重心運動の保存則が導かれ、スピンと軌道的寄与が明確に分離される古典的枠組みが提供される。

ABSTRACT

Starting from positive and negative helicity Maxwell equations expressed in Riemann-Silberstein vectors, we derive the ten usual and ten additional Poincar{é} invariants, the latter being related to the electromagnetic spin, i.e., the intrinsic rotation, or state of polarization, of the electromagnetic fields. Some of these invariants have apparently not been discussed in the literature before.

研究の動機と目的

• 電磁場の角運動量および光子スピンの古典的解釈における長年の曖昧さを解消するため、明確な保存則を導出すること。
• リーマン＝シルベスタイン形式を複素数ヘリシティ状態および光学的コherー二スを含める形に拡張し、スピンと軌道的角運動量を統一的に取り扱えるようにすること。
• 文献で見過ごされてきたスピンエネルギー、運動量、重心運動に関する保存則を特定し、形式的に導出すること。

提案手法

• 正負のヘリシティ状態を記述するため、複素数のリーマン＝シルベスタインベクトル $\mathbf{G}_{\pm} = \mathbf{E} \pm i c \mathbf{B}$ を用いてマクスウェル方程式を形式化する。ここで $\mathbf{E}, \mathbf{B} \in \mathbb{C}^3$ である。
• 電磁エネルギー密度および運動量密度をそれぞれ $H_{\pm} = \varepsilon_0 |\mathbf{G}_{\pm}|^2 / 2$ および $\mathbf{K}_{\pm} = \mp \varepsilon_0 \mathrm{Im}(\mathbf{G}_{\pm} \times \mathbf{G}_{\pm}^*) / (2c)$ として定義する。
• 2つの保存則のセットを導出する：1つは全場（標準のポインティング則およびローレンツ力則）を扱い、もう1つは $H_{\pm}, \mathbf{K}_{\pm}$ およびそれらに対応する応力テンソル $\tilde{\boldsymbol{\mathsf{T}}}_{\pm}$ を用いたスピン特有の場を扱う。
• 2つの保存則のセットを加算および減算することで、標準的およびスピン特有の形 $u, \mathbf{p}, w, \mathbf{V}, \mathbf{f}^{\mathrm{Lorentz}}, \mathbf{f}^{\mathrm{spin}}$ およびそれらに対応する応力テンソルを回復する。
• エネルギー保存則および運動量保存則にそれぞれ $\mathbf{r}$ および $c^2 t$ を乗じることで、両ヘリシティ状態の重心（CE）運動の保存則を導出する。
• 複素化された電荷密度および電流密度 $\rho_{\pm}, \mathbf{j}_{\pm}$ を用いて、磁気的電荷および電流密度を含める形式に拡張し、一般化された双対性不変形式を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的場理論的枠組みにおいて、電磁場のスピンと軌道的角運動量を明確に分離できるか？
• RQ2 特に円偏光波に対して、電磁場の内在的スピンに関連する保存則は何か？
• RQ3 スピンエネルギーおよびスピン運動量といった、これまで気づかれていなかったポアンカレ不変量が、保存則を満たすものがあるか？
• RQ4 左巻きおよび右巻きのヘリシティ状態の重心運動を独立に導出でき、それぞれが独立に保存するか？
• RQ5 一般化されたリーマン＝シルベスタインベクトルは、どのようにしてヘリシティ成分に一貫して電磁観測量を分解可能にするか？

主な発見

• 本稿では、スピンエネルギー密度 $w = \mathrm{Im}(\mathbf{E} \cdot \mathbf{B}^*) / Z_0$ およびスピン運動量密度 $\mathbf{V} = -\varepsilon_0 \mathrm{Im}(\mathbf{E} \times \mathbf{E}^* + c^2 \mathbf{B} \times \mathbf{B}^*) / (2c)$ が導出され、これらがポアンカレ定理に類似した保存則（式7）を満たすことが示された。
• スピン運動量のための新しい保存則（式8）が導出された：$\partial_t \mathbf{V} + \nabla \cdot \mathbf{U} + \mathbf{f}^{\mathrm{spin}} = \mathbf{0}$、ここで $\mathbf{f}^{\mathrm{spin}} = \mathrm{Im}(c \rho \mathbf{B}^* - \mathbf{j} \times \mathbf{E}^* / c)$ であり、これは文献においてこれまで報告されていなかった。
• スピン重心（CE）運動の保存則（式17）$\partial_t (\mathbf{r} v - c^2 t \mathbf{V}) + c^2 \nabla \cdot (\mathbf{r} \mathbf{V} - t \mathbf{U}) = \mathbf{0}$ が初めて導出され、スピンCE運動の独立した保存が示された。
• スピンバイリアル定理（式14）が新規に導出され、量子力学的スピン運動量関係の古典的類似物が得られた。
• 形式的枠組みは、スピンと軌道的角運動量が独立に保存されることを示し、古典電磁力学における長年の曖昧さを解消した。
• 一般化されたRS形式は、電磁エネルギー、運動量、角運動量をヘリシティ成分 $\pm 1$ に明確に分解可能であり、すべての観測量が $H_{\pm}, \mathbf{K}_{\pm}, \mathbf{r} \times \mathbf{K}_{\pm}$ および $\mathbf{r} H_{\pm} - c^2 t \mathbf{K}_{\pm}$ の線形結合として表現可能であることを示した。