[論文レビュー] Conservative stochastic 2-dimensional Cahn-Hilliard equation

Michael Röckner, Huanyu Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 42被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2つのアプローチを用いて、空間-時間ホワイトノイズによって駆動される保存的確率的2次元Cahn-Hilliard方程式の適切性を確立する。1つはシフトされた方程式を用いた確率的に強い解、もう1つはディリクレ形式法を用いた確率的に弱い解である。主な貢献は、マルティンゲール解の一意性および指数的エルゴード性の証明、ならびに生成子の制限付きマルコフ一意性の確立である。

ABSTRACT

We consider the stochastic 2-dimensional Cahn-Hilliard equation which is driven by the derivative in space of a space-time white noise. We use two different approaches to study this equation. First we prove that there exists a unique solution $Y$ to the shifted equation (see (1.4) below), then $X:=Y+{Z}$ is the unique solution to stochastic Cahn-Hilliard equaiton, where ${Z}$ is the corresponding O-U process. Moreover, we use Dirichlet form approach in \cite{Albeverio:1991hk} to construct the probabilistically weak solution the the original equation (1.1) below. By clarifying the precise relation between the solutions obtained by the Dirichlet forms aprroach and $X$, we can also get the restricted Markov uniquness of the generator and the uniqueness of martingale solutions to the equation (1.1).

研究の動機と目的

• 空間-時間ホワイトノイズによって駆動される保存的確率的2次元Cahn-Hilliard方程式の解の存在および一意性を確立すること。
• シフトされた方程式を用いた確率的に強い解と、ディリクレ形式法を用いた確率的に弱い解との関係を明確にすること。
• 生成子の制限付きマルコフ一意性およびマルティンゲール解の一意性を証明すること。
• 解過程の指数的エルゴード性を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、元の確率的Cahn-Hilliard方程式をより取り扱いやすい形に変換するため、シフトされた方程式を導入する。
• 彼らは、Sobolev空間における固定点法および正則性推定を用いて、シフトされた方程式の解 $ Y $ の存在および一意性を証明する。
• 質量保存を保証するため、オーナイズ＝ウーレンプ過程 $ Z $ を用いて、元の解 $ X = Y + Z $ を構成する。
• 右過程の理論および準正則性を活用して、ディリクレ形式のアプローチを用いて、元の方程式の確率的に弱い解を構成する。
• 強い解と弱い解の関係を用いて、生成子の制限付きマルコフ一意性を導出する。
• ゲルビス測度の文脈でカップリング技法を用いて不変測度を分析することで、指数的エルゴード性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間-時間ホワイトノイズによって駆動される保存的確率的2次元Cahn-Hilliard方程式は、一意な確率的に強い解をもつか？
• RQ2 ディリクレ形式法を用いて確率的に弱い解を構成可能であり、それが強い解とどのように関係するか？
• RQ3 生成子は制限付き意味でマルコフ的になお一意か？ そして、これはマルティンゲール解の一意性を意味するか？
• RQ4 解過程はゲルビス測度に関して指数的エルゴード性を示すか？

主な発見

• シフトされた方程式のアプローチを用いて、保存的確率的2次元Cahn-Hilliard方程式に対して一意な確率的に強い解が存在する。
• ディリクレ形式法を用いて確率的に弱い解が構成され、強い解との同等性が確認されることで、生成子の制限付きマルコフ一意性が裏付けられる。
• 強い解と弱い解の構成の相互作用を通じて、マルティンゲール解の一意性が確立される。
• 解過程の指数的エルゴード性が証明され、平衡状態への指数的収束が示される。
• 不変測度として、$ \nu(d\phi) = c \exp\left(-\int_{\mathbb{T}^2} \frac{1}{4} :\phi^4: dx\right) \mu(d\phi) $ と形式的に与えられるゲルビス測度 $ \nu $ が、エルゴード性の結果の根拠となる。
• 解はほとんど確実に質量を保存する。これは方程式の保存的性質と整合的である。