[論文レビュー] Conservativity of embeddings in the lambda Pi calculus modulo rewriting

Ali Assaf|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2015

Logic, programming, and type systems被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、lambda Pi calculus modulo rewritingにおける埋め込みの保存性を、相対正規化結果を確立することで証明している。これにより、元のシステムが正規化されない場合でも、埋め込みが論理的性質を保つことが示された。このアプローチは、従来の結果を一般化しており、埋め込み先のシステムが正規化されることを仮定する必要がなかった。これにより、純粋型システムに対して任意の枠組みとしての使用が正当化される。

ABSTRACT

The lambda Pi calculus can be extended with rewrite rules to embed any functional pure type system. In this paper, we show that the embedding is conservative by proving a relative form of normalization, thus justifying the use of the lambda Pi calculus modulo rewriting as a logical framework for logics based on pure type systems. This result was previously only proved under the condition that the target system is normalizing. Our approach does not depend on this condition and therefore also works when the source system is not normalizing.

研究の動機と目的

• 任意の関数的純粋型システムに対するlambda Pi calculus modulo rewritingにおける埋め込みの保存性を確立すること。
• 従来の制限、すなわち保存性を証明するためには埋め込み先のシステムが正規化されている必要があったという制限を克服すること。
• 非正規化可能なシステムに対してもlambda Pi calculus modulo rewritingを論理的枠組みとして使用することを正当化する相対正規化結果を提供すること。
• 元のシステムや埋め込み先のシステムにおける正規化に関する仮定を排除することで、既存の論理的枠組みに関する結果を一般化すること。

提案手法

• 関数的純粋型システムを埋め込むために、lambda Pi calculusに書き換え規則を拡張する。
• 元のシステムの還元を埋め込み先のシステムに対して相対的に追跡する相対正規化技術を導入する。
• 元のシステムにおける還元のシミュレーションに基づく証明技法を用いる。
• 書き換え規則および型コンストラクタの句法学的・構造的分析を適用し、不正な証明が導入されないことを保証する。
• 元のシステムの項とlambda Pi calculus modulo rewritingにおけるそれらの符号化対応物との関係を結ぶ論理的関係の議論を採用する。
• 元のシステムにおけるすべての還元が、型の保存性と正規化行動を保つ、有効な還元経路に相当することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 埋め込み先のシステムが正規化されていないとしても、関数的純粋型システムをlambda Pi calculus modulo rewritingに埋め込むことは保存的であると証明できるか？
• RQ2 元のシステムが非正規化可能である場合でも、相対正規化結果は成り立つか？
• RQ3 lambda Pi calculus modulo rewritingに基づく論理的枠組みは、非正規化可能な純粋型システムを安全に符号化できるか？
• RQ4 埋め込みプロセス中に新しい不正な証明が導入されないよう保証する条件は何か？
• RQ5 意味的またはモデル理論的仮定に依存せずに、還元に基づく構文的推論のみで埋め込みの保存性をどのように確立できるか？

主な発見

• 任意の関数的純粋型システムをlambda Pi calculus modulo rewritingに埋め込むことは、元のシステムが非正規化可能であっても保存的である。
• 元のシステムにおける還元がすべて、埋め込み先のシステムにおける有効な還元経路に対応することを保証する相対正規化結果が確立された。
• 証明は埋め込み先のシステムが正規化されている必要がないため、この仮定に依存する従来の結果を一般化している。
• この枠組みは、非正規化可能な純粋型システムの安全な符号化を可能にし、普遍的な論理的枠組みとしての適性を示している。
• 保存性の結果は、意味的またはモデル理論的仮定に依存せず、還元の構文的シミュレーションによって達成されている。
• この手法により、埋め込み中に新しい不正な証明が導入されず、元のシステムの論理的整合性が保たれている。