[論文レビュー] Consistent solution of Markov's problem about algebraic sets

Ol’ga Sipacheva|ArXiv.org|May 20, 2006

Advanced Topology and Set Theory参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、連続体仮説（CH）の下で、代数的でない unconditionaly closed な集合を含む群の存在を証明している—つまり、すべてのハウスドルフ群位相で閉じているが、方程式の解集合またはその有限個の和集合・共通部分集合として表現できない集合である。構成ではシェラの nontopologizable 群が用いられ、それが可算部分群の族の和集合として構成されることを活用し、単位元の補集合が unconditionaly closed ではあるが代数的ではないことを示している。この結果、代数的集合に関するマークフの問題に対する一貫した否定的解が得られる。

ABSTRACT

It is proved that the continuum hypothesis implies the existence of a group M containing a nonalgebraic unconditionally closed set, i.e., a set which is closed in any Hausdorff group topology on M but is not an intersection of finite unions of solution sets of equations in M.

研究の動機と目的

• 群におけるすべての unconditionaly closed な集合が代数的であるかどうかというマークフの長年の問題を解決すること。
• 非可算群における unconditionaly closed な集合と代数的集合の関係を調査すること。
• 連続体仮説（CH）の下で、代数的でない unconditionaly closed 部分集合をもつ群が存在することを示すこと。
• 位相化可能性と部分群構造が、unconditionaly closed な集合の代数的性質を決定する役割を明らかにすること。
• 代数的集合が unconditionaly closed であるというマークフの定理の逆が、非可算群において成り立つかどうかを検証し、ZFC に加えて CH を仮定した一貫した反例を提供すること。

提案手法

• 連続体仮説（CH）の下で、シェラの nontopologizable 群を用いて群 $M$ を構成し、$\omega_1$ で添え字づけられた可算部分群 $M_\alpha$ の和集合として表す。
• 各 $M_\alpha$（$M_1$ を除く可能性はあるが）が位相化可能な部分群の和集合であるという性質を用い、局所的な位相化可能性を保証する。
• 補題1を適用：nontopologizable 群において、すべての有限部分集合が位相化可能な部分群に含まれるならば、$G \setminus \{1\}$ は unconditionaly closed だが代数的ではない。
• 自由積の部分群を用いた小刻みキャンセレーション理論 $L \ast_H K$ を用い、交差が自明となる正規部分群の減少列を構成する。
• 対称化閉包と $C^\prime(1/10)$-小刻みキャンセレーション条件を用い、商群に非離散なハウスドルフ位相が存在することを保証する。
• 背理法により $G \setminus \{1\}$ が代数的でないことを示す：その集合が有限個の初等代数的集合の和集合であると仮定すると、関連する単語を含む部分群の位相化可能性と矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群のすべての unconditionaly closed な部分集合は、方程式の解集合またはその有限個の和集合・共通部分集合として得られるのか、すなわち代数的集合であるのか？
• RQ2 適切な構造的条件下で、nontopologizable 群が代数的でない unconditionaly closed な集合を含むことは可能か？
• RQ3 マークフの定理の逆—すべての unconditionaly closed な集合が代数的である—は非可算群においても成り立つか？
• RQ4 群のどのような構造的性質が、その unconditionaly closed 部分集合が代数的であることを保証するか？
• RQ5 このような代数的でない unconditionaly closed 集合の存在は、ZFC において一貫して示せるのか、それとも CH のような追加の集合論的仮定が必要か？

主な発見

• 連続体仮説の下で、代数的でない unconditionaly closed な集合を含む群 $M$ が存在する。
• 群 $M$ はシェラの nontopologizable 群であり、非可算で、可算部分群 $M_\alpha$ の和集合として構成され、それぞれの $M_\alpha$ が位相化可能な部分群の和集合である。
• 集合 $M \setminus \{1\}$ は、$M$ が非離散なハウスドルフ群位相を持たないため、unconditionaly closed である。
• 集合 $M \setminus \{1\}$ は代数的ではない。仮にそれが有限個の初等代数的集合の和集合であるとすると、関連する単語を含む部分群の位相化可能性と矛盾する。
• 証明は、任意の有限個の単語からなる代数的集合の定義が、単一の位相化可能な部分群内に収まることに依拠している。その部分群 $H$ において、$H \setminus \{1\}$ が代数的でないことは明らかである。
• したがって、このような集合の存在は ZFC + CH と一貫しており、非可算の場合におけるマークフの問題に対する否定的解が得られる。