[論文レビュー] Constacyclic Codes over $F_p+vF_p$

Guanghui Zhang, Bocong Chen|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$v^2 = v$ かつ $p$ を奇素数とする環 $\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 上のすべての定数循環符号を特徴づけ、それらが主生成であることを示し、明示的な多項式生成子を提供する。さらに、符号を $\mathbb{F}_p$ 上の成分に分解することにより、これらの定数循環符号の双対符号を特定し、標準形における生成多項式の逆元によって双対符号が生成されることを確立する。

ABSTRACT

In this paper, we study constacyclic codes over $F_p+vF_p$, where $p$ is an odd prime and $v^2=v$. The polynomial generators of all constacyclic codes over $F_p+vF_p$ are characterized and their dual codes are also determined.

研究の動機と目的

• 任意の長さの定数循環符号について、$\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 上の巡回符号および定数循環符号に関する先行研究を一般化すること。
• $R = \mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 上の任意の単元 $\theta$ に対して、$\theta$-定数循環符号の多項式生成子を特徴づけること。
• これらの定数循環符号の双対符号の構造を特定し、その主生成性を確立すること。
• $\mathbb{F}_p$ 上の成分への符号の分解を用いて、$\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 上の定数循環符号の双対性理論を拡張すること。
• $\theta = 1-2v$ または $-1+2v$ のとき、グレイ写像が $\theta$-定数循環符号の双対性を保つことを示し、それらを距離不変な $\mathbb{F}_p$ 上の巡回符号に結びつけること。

提案手法

• $R = \mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ および単元 $\theta$ を用いて、定数循環符号を商環 $R[x]/\langle x^n - \theta \rangle$ のイデアルとして表現する。
• $C$ を $R$ 上の符号とするとき、一意に $C = vC_{1-v} \oplus (1-v)C_v$ と分解する。ここで $C_{1-v}, C_v$ は $\mathbb{F}_p$ 上の線形符号である。
• $R[x]$ 内の $x^n - \theta$ のモニック因子を用いて、$\theta$-定数循環符号の生成多項式を特徴づける。
• $C_{1-v}$ と $C_v$ の成分からなる単一の生成多項式を構成することにより、$R$ 上のすべての定数循環符号が主生成であることを証明する。
• 標準形生成集合 $\{v g_{1-v}(x), (1-v) g_v(x)\}$ を用いて符号およびその双対符号を記述する。
• 双対符号 $C^\perp$ が $\{v h_{1-v}^*(x), (1-v) h_v^*(x)\}$ によって生成されることを示し、ここで $h_{1-v}^*, h_v^*$ はそれぞれ $g_{1-v}, g_v$ の双対多項式である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇素数 $p$ および $v^2 = v$ を満たす $\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 上の任意の $\theta$-定数循環符号の構造は何か？
• RQ2 $\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 上のすべての定数循環符号は主生成であるか？ もしそうならば、その生成多項式は何か？
• RQ3 $\theta$-定数循環符号の双対符号を多項式生成子の観点から明示的に記述できるか？
• RQ4 標準グレイ写像下での $\theta$-定数循環符号のグレイ像とその双対符号の関係は何か？
• RQ5 $\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 上の定数循環符号について、グレイ写像がどのような条件下で双対性を保つのか？

主な発見

• $\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 上のすべての $\theta$-定数循環符号は主生成であり、生成多項式は $g(x) = v g_{1-v}(x) + (1-v) g_v(x)$ の形をとる。ここで $g_{1-v}(x)$ および $g_v(x)$ はそれぞれ $\mathbb{F}_p[x]$ 内で $x^n - \lambda$ および $x^n - \mu$ のモニック因子である。
• $\theta$-定数循環符号 $C$ の双対符号 $C^\perp$ も $\theta^{-1}$-定数循環符号であり、$\{v h_{1-v}^*(x), (1-v) h_v^*(x)\}$ によって生成される。ここで $h_{1-v}^*, h_v^*$ はそれぞれ $g_{1-v}, g_v$ の双対多項式である。
• 双対符号は $C^\perp = v C_{1-v}^\perp \oplus (1-v) C_v^\perp$ を満たし、そのサイズは $|C^\perp| = p^{\deg(g_{1-v}(x)) + \deg(g_v(x))}$ である。
• $\theta = 1-2v$ または $-1+2v$ のとき、グレイ像 $\phi_\theta(C^\perp)$ は $\mathbb{F}_p[x]$ 内の $h_{1-v}^*(x) h_v^*(x)$ によって生成されるイデアルに等しい。
• グレイ写像は $\phi_\theta(C^\perp) = (\phi_\theta(C))^\perp$ を満たし、これによりこれらの特別な定数循環符号において双対性が保たれることを示す。
• 例として、$\mathbb{F}_3 + v\mathbb{F}_3$ 上の長さ10の $(-1+2v)$-定数循環符号で、生成多項式が $x^4 + (2v-1)x^3 + (1-v)x^2 - x + 1$ である符号が、グレイ写像により $\mathbb{F}_3$ 上の $[20,12,4]$ 巡回符号に写像され、その生成多項式は $(x^4 + x^3 - x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)$ であることを示す。