[論文レビュー] Constacyclic symbol-pair codes: lower bounds and optimal constructions

Bocong Chen, Liren Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、反復根を持つ巡回符号を含む、定数符号的符号の最小ペア距離に対する3つの新しい下界を確立し、反復根を持つ巡回符号を用いて最小ペア距離が7および8である新しい最適MDSシンボルペア符号を構成する。結果として、シンボルペア符号に関する先行研究が拡張され、従来の限界を超えた改善されたペア距離を達成する明示的なMDS符号の構成が得られる。

ABSTRACT

Symbol-pair codes introduced by Cassuto and Blaum (2010) are designed to protect against pair errors in symbol-pair read channels. The higher the minimum pair distance, the more pair errors the code can correct. MDS symbol-pair codes are optimal in the sense that pair distance cannot be improved for given length and code size. The contribution of this paper is twofold. First we present three lower bounds for the minimum pair distance of constacyclic codes, the first two of which generalize the previously known results due to Cassuto and Blaum (2011) and Kai {\it et al.} (2015). The third one exhibits a lower bound for the minimum pair distance of repeated-root cyclic codes. Second we obtain new MDS symbol-pair codes with minimum pair distance seven and eight through repeated-root cyclic codes.

研究の動機と目的

• 定数符号的符号の最小ペア距離に関する既存の下界を一般化し、CassutoとBlaum（2011年）およびKaiら（2015年）の結果を拡張すること。
• 反復根を持つ巡回符号における最小ペア距離に対する新たな下界を確立すること。
• 反復根を持つ巡回符号を用いて、最小ペア距離が7および8である新しいMDSシンボルペア符号を構成すること。
• 最小ペア距離が向上したシングルトン限界に達する最適シンボルペア符号の明示的構成を提供すること。

提案手法

• 代数的および組合的技法を用いて、定数符号的符号の最小ペア距離に対する3つの新しい下界を導出する。
• ハートマン＝ツェングの定理を適用して、構成された巡回符号の最小ハミング距離を検証する。
• 反復根を持つ巡回符号の生成多項式の構造を用いて、非ゼロ係数の分布およびそれらの連続的配置を分析する。
• ハミング距離とペア距離の関係を活用し、不等式 $ d_H + 1 \leq d_p \leq 2d_H $ を用いてペア距離の下界を推論する。
• 特定の巡回符号を $ \mathbb{F}_p $ 上に、生成多項式 $ (x-1)^3(x-\omega)^2(x-\omega^2) $ を用いて構成し、望ましいパラメータを達成する。
• 連続する非ゼロ成分を持つ低重み符号語の存在を検証せず、ペア距離の下界を強化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存の結果を超えて、定数符号的符号の最小ペア距離に対するよりきつい下界を確立できるか？
• RQ2 反復根を持つ巡回符号の最小ペア距離は何か？ また、そのハミング距離とは独立して下界を付与できるか？
• RQ3 反復根を持つ巡回符号を用いて、最小ペア距離が7または8であるMDSシンボルペア符号を構成できるか？
• RQ4 どのような条件下で反復根を持つ巡回符号がMDSシンボルペア符号を生成するか？
• RQ5 $ q^2 \equiv 1 \pmod{n} $ のとき、 $ q $-巡回的コセットを $ n $ を法として用いることで、最適シンボルペア符号の構成にどのように寄与するか？

主な発見

• 反復根を持つ巡回符号の最小ペア距離に対する新しい下界が確立され、長さ $ 3p $、パラメータ $ [3p, 3p-6, 4] $ の符号 $ \mathcal{D} $ に対して $ d_p(\mathcal{D}) \geq 6 $ が示された。
• 本稿は、反復根を持つ巡回符号を用いて、最小ペア距離が7および8であるMDSシンボルペア符号を構成し、シングルトン限界に達している。
• $ \mathbb{F}_q $ 上の長さ $ n $ の巡回符号 $ \mathcal{C} $ で、定義集合が $ C_0 \cup C_1 \cup C_{q+1} $ である場合、最小ハミング距離が正確に4であることが示された。このため、これはほぼMDS符号である。
• 符号 $ \mathcal{C} $ はパラメータ $ [n, n-4, 4] $ でほぼMDSであることが証明され、$ n-4 \geq q $ であるため、MDSにはなり得ず、そのほぼMDS性が確認された。
• ハミング重み5または6で、連続する非ゼロ成分を持つ符号語が存在しないことは厳密に証明され、より高いペア距離の下界を支持する。
• 構成により、$ d_p = 7 $ および $ d_p = 8 $ のMDSシンボルペア符号が得られ、従来の知られていたクラスを超えたこのような最適符号が存在することを示した。