[論文レビュー] Constant Approximation Algorithms for Guarding Simple Polygons using Vertex Guards

Pritam Bhattacharya, Subir Ghosh+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 25被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、単純多角形を頂点監視者を用いて監視するための、初めての多項式時間定数近似アルゴリズムを提示する。頂点および境界監視の近似比は18であり、全内部および境界監視の近似比は27である。これにより、1987年にゴーシュが提起した長年の予想が解決された。本手法は、擬似頂点および視界分解を含む深い視界構造を活用し、有界な監視者集合によるカバーを保証する。

ABSTRACT

The art gallery problem enquires about the least number of guards sufficient to ensure that an art gallery, represented by a simple polygon $P$, is fully guarded. Most standard versions of this problem are known to be NP-hard. In 1987, Ghosh provided a deterministic $\mathcal{O}(\log n)$-approximation algorithm for the case of vertex guards and edge guards in simple polygons. In the same paper, Ghosh also conjectured the existence of constant ratio approximation algorithms for these problems. We present here three polynomial-time algorithms with a constant approximation ratio for guarding an $n$-sided simple polygon $P$ using vertex guards. (i) The first algorithm, that has an approximation ratio of 18, guards all vertices of $P$ in $\mathcal{O}(n^4)$ time. (ii) The second algorithm, that has the same approximation ratio of 18, guards the entire boundary of $P$ in $\mathcal{O}(n^5)$ time. (iii) The third algorithm, that has an approximation ratio of 27, guards all interior and boundary points of $P$ in $\mathcal{O}(n^5)$ time. Further, these algorithms can be modified to obtain similar approximation ratios while using edge guards. The significance of our results lies in the fact that these results settle the conjecture by Ghosh regarding the existence of constant-factor approximation algorithms for this problem, which has been open since 1987 despite several attempts by researchers. Our approximation algorithms exploit several deep visibility structures of simple polygons which are interesting in their own right.

研究の動機と目的

• 単純多角形における頂点監視者問題の定数比近似アルゴリズムの存在について、1987年にゴーシュが提起した予想を解決すること。
• 単純多角形のすべての頂点、境界、および全内部を監視する多項式時間アルゴリズムを設計し、定数近似比を保証すること。
• 結果を辺監視者へと拡張し、類似した視界に基づく技術を用いて同様の定数近似比が達成可能であることを示すこと。
• 単純多角形に内在する視界構造を活用し、効率的かつ証明可能に有界な近似アルゴリズムを設計すること。

提案手法

• 視界領域の境界上に擬似頂点を導入し、視界分解を精緻化し、カバー保証を向上させること。
• 視界分解を変更して、すべての頂点（擬似頂点を含む）の EVP⁺(z) および EVP⁻(z) を計算し、完全な視界カバーを保証すること。
• 視界優位性と最小限の被覆被りに基づく主な頂点選択戦略を適用し、主な頂点数を最大で 2·|G_opt| に制限すること。
• 配置後における冗長性チェックを導入し、新たな頂点をカバーしない監視者を削除することで、実用的性能を向上させること。
• 視界構造における内部監視者と外部監視者の双対性を活用し、残存する見えない領域セルをカバーするための追加監視者数を制限すること。
• 辺監視者用にアルゴリズムを適応させ、辺セグメントを監視者配置候補とみなして、同様の視界に基づく分解と選択論理を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1987年にゴーシュが提起した予想に従い、単純多角形における頂点監視者問題に対して定数近似アルゴリズムを設計可能か？
• RQ2 頂点監視者を用いて単純多角形のすべての頂点を監視する場合、多項式時間内で達成可能な最小近似比は何か？
• RQ3 辺監視者を用いて単純多角形の全境界および内部を監視する場合、同様の定数近似比を達成可能か？
• RQ4 視界分解と擬似頂点の構築をどのように活用することで、必要な監視者数を有界に保ちつつ完全なカバーを保証できるか？
• RQ5 冗長性チェックと視界優位性基準は、近似アルゴリズムの実用的性能をどの程度向上できるか？

主な発見

• 頂点監視者を用いて単純多角形のすべての頂点を監視する最初の多項式時間アルゴリズムが提案され、O(n⁴)時間で近似比18を達成する。
• 2番目のアルゴリズムは、境界完全カバーを保証し、O(n⁵)時間で近似比18を達成する。
• 3番目のアルゴリズムは、内部および境界の完全カバーを保証し、O(n⁵)時間で近似比27を達成する。
• これらのアルゴリズムは辺監視者にも適応可能であり、境界カバーと完全カバーそれぞれで近似比18および27を達成する。
• 擬似頂点と視界分解の活用により、監視者選択が有界に保証され、主な頂点1つあたり最大6つの追加監視者で収まる。これにより定数近似比が保証される。
• 本研究の結果により、ゴーシュの1987年の予想が解決され、単純多角形における頂点監視者および辺監視者問題に対する最初の定数近似アルゴリズムが提供された。