[論文レビュー] Constant mean curvature foliations in cosmological spacetimes

Alan D. Rendall|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 1996

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 43

ひとこと要約

この論文は、強いエネルギー条件を満たし、コンパクトなカウチハイパーサーフェスを持つ宇宙論的時空における一定平均曲率（CMC）ファイブレーションの存在を調査する。グローバルCMCファイブレーションに関する予想を提示し、対称性の仮定の下での進展をレビューし、グローバルなCMCファイブレーションの存在が、ラプス関数やハイパーサーフェス体積などの幾何的量に対する強い一様な上限を得ることにかかっていることを示し、宇宙的遮断と初期特異点問題に影響を及ぼす。

ABSTRACT

Foliations by constant mean curvature hypersurfaces provide a possibility of defining a preferred time coordinate in general relativity. In the following various conjectures are made about the existence of foliations of this kind in spacetimes satisfying the strong energy condition and possessing compact Cauchy hypersurfaces. Recent progress on proving these conjectures under supplementary assumptions is reviewed. The method of proof used is explained and the prospects for generalizing it discussed. The relations of these questions to cosmic censorship and the closed universe recollapse conjecture are pointed out.

研究の動機と目的

• コンパクトなカウチハイパーサーフェスを持つ宇宙論的時空におけるグローバル一定平均曲率（CMC）ファイブレーションの存在に関する予想を定式化し、調査すること。
• CMCハイパーサーフェスが存在し、グローバルファイブレーションを形成する条件を分析すること、特に強いエネルギー条件を満たす時空において。
• グローバルCMCファイブレーションが幾何的に優れた時間座標を提供することを確立し、アインシュタイン方程式を発展問題として定式化するのに有用であること。
• CMCファイブレーションと宇宙的遮断の関係を、特に解のグローバル存在と漸近的挙動の観点から探求すること。
• 現在の手法の限界と、一般の非対称時空へのCMCファイブレーション結果の一般化における課題を特定すること。

提案手法

• グローバルCMCファイブレーションの存在を、CMC時間における偏微分方程式系のグローバル存在問題に再定式化すること。
• ラプス関数の振る舞い（楕円型方程式に従う）を用いて、体積や曲率などの幾何的量の上限を導出すること。
• 解がCMC時間の有限端点付近で一様に有界のままであれば、それを拡張できることを示す推定を適用すること。
• マレクとオ・マーチャダの技術を一般化するために、対称性の還元（例：ビアンキ、ガウドイ）を用いるが、少なくとも2つの局所的キリングベクトルを持つ時空に限定される。
• 障壁ハイパーサーフェスを用いて、可能な平均曲率値の集合が連結な区間であることを示し、CMC値のスペクトルにギャップがないことを排除すること。
• 最大ハイパーサーフェス付近での挙動を分析し、ラプス関数が発散する可能性があること（時間座標の崩壊を示唆）を明らかにし、グローバルファイブレーションの主要な障害となること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなカウチハイパーサーフェスを持つ宇宙論的時空が、どのような条件下でコンパクトな一定平均曲率ハイパーサーフェスによるグローバルファイブレーションを許容するか？
• RQ2 CMCハイパースーフェス上の平均曲率値の範囲が区間であるための必要十分条件は何か？その端点はどのように決定されるか？
• RQ3 時空の対称性が欠如する状況下で、グローバルCMCファイブレーションの存在をどのように証明できるか？特に、ラプス関数に下限がない場合。
• RQ4 CMCファイブレーションは、強い宇宙的遮断予想とどのように関係するか？特に、解の漸近的挙動を制御する観点から。
• RQ5 CMC時間座標は、非一様時空における曲率特異点と初期特異点構造に関する既存の結果を統合・一般化するために使用可能か？

主な発見

• 強いエネルギー条件を満たし、コンパクトなカウチハイパーサーフェスを持つ宇宙論的時空において、任意の非ゼロの平均曲率値に対して、コンパクトなCMCハイパーサーフェスは高々1つしか存在しない。特異な静的状態を除いてはそうである。
• 1つのコンパクトなCMCハイパーサーフェスが存在する場合、それは平均曲率が単調に変化するCMCハイパーサーフェスによる局所的ファイブレーションを生成し、優れた時間座標を形成する。
• 与えられた時空におけるCMCハイパーサーフェスが実現する平均曲率値の集合は、バリアハイパーサーフェス定理により、ギャップのない連結な区間である。
• ラプス関数とハイパーサーフェス体積の有限CMC時間区間における強い一様な上限が得られれば、グローバルCMCファイブレーションを確立できる。
• ビアンキ型Iやガウドイのような対称的時空では、グローバルCMCファイブレーションが存在し、初期特異点は曲率特異点であるが、一般には漸近的挙動は十分に理解されていない。
• マレク＝オ・マーチャダの技術の一般化ができないため、少なくとも2つの局所的キリングベクトルを持つ時空を超えて一般化できない。