[論文レビュー] Constant-time Connectivity and 2-Edge Connectivity Querying in Dynamic Graphs

Lantian Xu, Junhua Zhang+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2026

Graph Theory and Algorithms被引用数 0

ひとこと要約

この論文は ID-Tree と DS-Tree を導入し、全ダイナミックグラフにおける連結性と 2 辺連結性を維持し、従来研究である D-Tree に対して更新性能を改善するとともに、実データによる広範な評価を行う。

ABSTRACT

Connectivity query processing is a fundamental problem in graph processing. Given an undirected graph and two query vertices, the problem aims to identify whether they are connected via a path. Given frequent edge updates in real graph applications, in this paper, we study connectivity query processing in fully dynamic graphs, where edges are frequently inserted or deleted. A recent solution, called D-tree, maintains a spanning tree for each connected component and applies several heuristics to reduce the depth of the tree. To improve efficiency, we propose a new spanning-tree-based solution by maintaining a disjoint-set tree simultaneously. By combining the advantages of two trees, we achieve the constant query time complexity and also significantly improve the theoretical running time in both edge insertion and edge deletion. In addition, we extend our connectivity maintenance algorithms to maintain 2-edge connectivity. Our performance studies on real large datasets show considerable improvement of our algorithms.

研究の動機と目的

• 頻繁な辺の更新を伴う全ダイナミックグラフにおける効率的な連結性クエリ処理の動機づけ。
• ほぼ一定時間のクエリを実現しつつ、辺の挿入・削除を効率的に維持するスパニングツリーベースのインデックスを開発。
• 2 辺連結性を一定時間クエリで維持する方法を拡張。
• 従来法（例：D-Tree）と比べてメンテナンスのオーバーヘッドを削減しつつ、クエリ性能を損なわない。
• 実データセットを用いた広範な実験を通じて実用的な有効性を示す。

提案手法

• スパニングツリー構造（ID-Tree）と不在木集合構造（DS-Tree）を組み合わせ、連結性および 2 辺連結性のクエリを高速に処理できるようにする。
• 実用的な効率を改善するヒューリスティクスを追加し、置換辺探索の早期終了を導入したスパニングツリー実装を拡張する。
• 辺の削除をサポートするために、Find と Union を定数時間で実行可能な軽量な不在木変種と効率的な削除処理を開発する。
• 木の操作を摂動的に O(h) 時間で実現しつつ、DS-Tree によってほぼ定数時間のクエリを可能にする辺の挿入と削除のアルゴリズムを提供する。
• 補助構造への更新を最小限に抑えつつ正確性を保つ ID-Insert および ID-Delete ワークフローを提案する。
• 2 辺連結性を保持する方法を、置換辺を追跡し DS-Tree と統合することで説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全ダイナミックグラフで連結性クエリを摂動的な定数時間で達成しつつ、辺の挿入・削除を効率的に維持できるか。
• RQ2 spanning-tree 手法を不在木の概念と組み合わせて、連結性と 2 辺連結性のクエリを効率的にサポートできるか。
• RQ3 ダイナミック連結性の維持において深い木のヒューリスティクスを軽量な構造に置換した場合に実用的な利得が生じるか。
• RQ4 提案された ID-Tree/DS-Tree フレームワークは、D-Tree などの最先端手法と比較して実世界の大規模グラフでどのような性能を示すか。

主な発見

アルゴリズム	クエリ処理	辺の挿入	辺の削除
私たちの手法	O(alpha)	O(h)	O(h)
D-Tree	O(h)	O(h * nbr_update)	O(h^2 * nbr_scan)

• ID-Tree のスパニングツリーと DS-Tree の不在木の組み合わせにより、連結性クエリを摂動的定数時間で実現する。
• 挿入・削除の時間を O(h) で維持しつつ、クエリはほぼ定数時間となる理論的な性能を示し、従来手法を改善。
• フレームワークを拡張して 2 辺連結性を一定時間クエリで維持できることを示す。
• 実世界の大規模データセットにおいて、最先端手法（例：D-Tree）と比較して実用的性能が大幅に向上することを示す。
• 木構成以外の重いメンテナンスを回避し、コアプリリミティブに焦点を当てることで、より軽量で効率的なアプローチを導入する。