[論文レビュー] Constraint Energy Minimizing Generalized Multiscale Finite Element Method for high-contrast linear elasticity problem

Shubin Fu, Eric T. Chung|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、高対比線形弾性問題に対して、オフラインおよびオンラインの制約エネルギー最小化一般マルチスケール有限要素法（CEM-GMsFEM）を提案する。オーバーサンプリング領域におけるエネルギー最小化によりマルチスケール基底関数を構築し、精度とロバスト性を向上させ、残差駆動型基底関数を用いた適応的オンライン豊か化を導入することで、2次元および3次元の数値実験において高速収束と高い精度を達成し、顕著な誤差低減を実現した。

ABSTRACT

In this paper, we consider the offline and online Constraint Energy Minimizing Generalized Mul- tiscale Finite Element Method (CEM-GMsFEM) for high-contrast linear elasticity problem. Offline basis construction starts with an auxiliary multiscale space by solving local spectral problems. We select eigenfunctions that correspond to a few small eigenvalues to form the auxiliary space. Using the auxiliary space, we solve a constraint energy minimization problem to construct offline multiscale spaces. The minimization problem is defined in the oversampling domain, which is larger than the target coarse block. To get a good approximation space, the oversampling domain should be large enough. We also propose a relaxed minimization problem to construct multiscale basis functions, which will yield more accurate and robust solution. To take into account the influence of input pa- rameters, such as source terms, we propose the construction of online multiscale basis and an adaptive enrichment algorithm. We provide extensive numerical experiments on 2D and 3D models to show the performance of the proposed method.

研究の動機と目的

• 細分スケールの不均一性に起因する高い計算コストがかかる高対比線形弾性問題を効率的に解く挑戦に応えること。
• オーバーサンプリング領域における制約エネルギー最小化を組み込むことで、マルチスケール法の精度とロバスト性を向上させること。
• 残差情報を用いてマルチスケール空間を動的に豊かにする適応的オンライン豊か化戦略を開発すること。
• 多様な対比および粗いメッシュサイズを想定した広範な2次元および3次元数値実験を通じて、本手法の有効性を実証すること。

提案手法

• 最小固有値に対応する固有関数を選択することで、局所スペクトル問題を解き、補助マルチスケール空間を構築する。
• 粗いブロックよりも大きなオーバーサンプリング領域上で、制約付きエネルギー最小化問題を解くことでオフラインマルチスケール基底関数を形成する。
• 制約なしで安定性と精度を向上させるために、最小化問題の緩和版を導入する。
• 粗いスケール解の残差をオーバーサンプリング領域上の局所エネルギー最小化問題のソース項として用い、オンラインマルチスケール基底関数を構築する。
• 誤差指標に基づき、残差が大きい領域を優先して基底関数の豊か化を行う適応的豊か化アルゴリズムを実装する。
• 均一な豊か化と適応的豊か化戦略を比較し、収束特性および誤差低減効率を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オーバーサンプリング領域における制約エネルギー最小化は、高対比線形弾性問題におけるマルチスケール近似の精度とロバスト性を向上させるか？
• RQ2 緩和されたエネルギー最小化定式化は、制約付きバージョンと比較して解の精度と安定性においてどのように異なるか？
• RQ3 特に解の勾配が大きい領域において、適応的オンライン豊か化は均一な豊か化と比較して誤差をどの程度低減するか？
• RQ4 オーバーサンプリング層の数および基底関数の数は、媒体対比に対して収束速度とロバスト性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 緩和されたCEM-GMsFEMは、特に高対比媒体において、標準的な制約付きバージョンよりも高速な収束とより高い精度を達成した。
• 適応的オンライン豊か化は、均一な豊か化よりもL²誤差をより効果的に低減し、基底関数を追加するに従い誤差が急速に減少した。
• モデル1では、4つのオフライン基底関数と4つのオーバーサンプリング層を用いることで、L²誤差は1.55e-02から3.54e-07に低下し、高い精度が実証された。
• モデル2では、オーバーサンプリング層を3から4に増加させることで、H¹誤差は1.10e-01から2.66e-02に低下し、対比変動に対するロバスト性が向上した。
• 粗いメッシュサイズが1/8から1/16に減少する中でも、本手法は良好な性能を維持し、収束が観察された。
• 適応的選択によるオンライン豊か化は、27,798自由度でL²誤差を3.10e-05まで低減し、誤差低減速度において均一な豊か化を上回った。