[論文レビュー] Constraints, MMSNP and expander relational structures

Gábor Kun|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2007

Advanced Graph Theory Research参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、制約充足問題（CSP）を任意に大きな周長を持つ同値な形に変換する決定的で多項式時間のアルゴリズムを提示する。この手法は、関係構造のねじれ積と呼ばれる新規な構成法を用いる。主な貢献は、CSPと単調単一厳密NP（MMSNP）が計算的に同等であることを証明し、FederとVardiの確率的希少非比較性補題を決定的化するとともに、周長が大きくかつ次数が有界な拡張子関係構造を用いて、CSPとMMSNPの間で完全な多項式時間同等性を確立することにある。

ABSTRACT

We give a poly-time construction for a combinatorial classic known as Sparse Incomparability Lemma, studied by Erdos, Lovasz, Nesetril, Rodl and others: We show that every Constraint Satisfaction Problem is poly-time equivalent to its restriction to structures with large girth. This implies that the complexity classes CSP and Monotone Monadic Strict NP introduced by Feder and Vardi are computationally equivalent. The technical novelty of the paper is a concept of expander relations and a new type of product for relational structures: a generalization of the zig-zag product, the twisted product.

研究の動機と目的

• 従来は確率的構成法でのみ知られていた、希少非比較性補題の決定的多項式時間アルゴリズムの提供。
• 構造的複雑性理論における主要な未解決問題を解消するため、CSPとMMSNPの複雑性クラスの計算的同等性の確立。
• 周長が大きくかつ次数が有界な拡張子関係構造の導入と構築。これは、グラフの拡張子概念をハイパーグラフおよび関係系に一般化するものである。
• ねじれ積の定義と利用。これは、ジグザグ積の一般化であり、このような構造を構築するための中心的ツールである。

提案手法

• 任意の座標部分集合に対して、関係内のタプル数が期待値から ε|R| 以内に収まるような、ε-拡張子関係構造の概念を導入する。
• 二つの関係構造のねじれ積を定義する。これはジグザグ積の一般化であり、より小さな構成要素から高周長構造を構築可能にする。
• 次数が有界でスペクトルギャップを持つ拡張子グラフを用いて基本構造を構築し、強い拡張性を保証する。
• 小さな拡張子構造Aと入力構造Sを繰り返しねじれ積に適用して、周長が大きな新しい構造S′を生成する。
• 拡張性に基づくホモモーティズムの持ち上げの議論を用いる。構造BがTにホモモーティズム的に写されるならば、Aが十分に強い拡張子であれば、ねじれ積Cに対しても同様にC → T が成り立つ。
• ラマヌジャン・グラフのスペクトル的性質と既知の拡張子構成法を活用し、必要な拡張子基本構造の多項式時間構築可能性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CSPの確率的希少非比較性補題を、多項式時間アルゴリズムに決定的化できるか？
• RQ2 拡張子グラフの概念を関係構造（ハイパーグラフ）に一般化し、強い拡張性と周長の性質を保つことができるか？
• RQ3 ねじれ積構成法を用いて、周長が大きく、次数が有界で、強い拡張性を併せ持つ関係構造を構築できるか？
• RQ4 CSPとMMSNPの計算的同等性は、確率的還元に依存しない決定的設定でも成立するか？
• RQ5 基本構造がε-拡張子である場合、ねじれ積構成法においてホモモーティズムの持ち上げ性質が保たれるか？

主な発見

• 任意のCSPインスタンスを、与えられたkより大きい周長を持つ同値インスタンスに変換する決定的多項式時間アルゴリズムを構築した。この変換は、サイズがt未満のすべての構造についてホモモーティズム性を保持する。
• ねじれ積構成法により、得られる構造S′は周長が少なくともkであり、サイズがt未満のすべての小さなターゲット構造Tについて、元の構造Sとホモモーティズム的に同等であることが保証される。
• 任意の有限関係型τ、任意のk > 0、ε > 0に対して、サイズn > nτ,ε,kで周長 ≥ k、最大次数 ≤ Mτ,εである、多項式時間構築可能なε-拡張子関係構造が存在する。
• 構成法により、任意のr項関係におけるタプル数が期待値からε|R|以内に収まることが保証され、ε-拡張性条件を満たす。
• ホモモーティズムの持ち上げ性質が成り立つ：B → T ならば、C → T が成り立つ。ここでCはε-拡張子AとBのねじれ積であり、ε|T|r < 1 が満たされる限り有効である。
• 本稿では、決定的設定下でCSPとMMSNPが計算的に同等であることを確立した。これは、CSPに二分法が成り立つならば、MMSNPに対しても同様に成り立つことを示唆する。