[論文レビュー] Constructing a chaotic system with any number of equilibria

Xiong Wang, Guanrong Chen|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2012

Chaos control and synchronization参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、1つの安定平衡点を有する基本系に対称変換を適用することにより、事前に指定された任意の数の平衡点を有する3次元カオス的系を構築する新規手法を提示する。1つのパラメータを調整することで、これらの平衡点の安定性を制御でき、1つ、2つ、3つ、あるいはそれ以上の平衡点を有するカオス的系の生成が可能となり、平衡点の数・安定性とグローバルなカオス的ダイナミクスとの直接的な関係が示された。

ABSTRACT

In the chaotic Lorenz system, Chen system and Rössler system, their equilibria are unstable and the number of the equilibria are no more than three. This paper shows how to construct some simple chaotic systems that can have any preassigned number of equilibria. First, a chaotic system with no equilibrium is presented and discussed. Then, a methodology is presented by adding symmetry to a new chaotic system with only one stable equilibrium, to show that chaotic systems with any preassigned number of equilibria can be generated. By adjusting the only parameter in these systems, one can further control the stability of their equilibria. This result reveals an intrinsic relationship of the global dynamical behaviors with the number and stability of the equilibria of a chaotic system.

研究の動機と目的

• 事前に指定された数の平衡点を有するカオス的系を設計するための体系的でない手法の欠如に対処すること。
• 任意の希望する数の平衡点（安定および不安定な構成を含む）を有するカオス的系を構築できるかどうかを調査すること。
• 平衡点の数、安定性、およびそれらが引き起こすグローバルなダイナミカルな挙動（例えば、マルチスクロールまたはマルチウィングアトラクタ）との関係を調査すること。
• すべての軌道が局所的に安定平衡点に収束する場合でもカオスが持続することを示し、従来の局所的・グローバルなダイナミクスの仮定に挑戦すること。

提案手法

• 単一の安定平衡点を有するカオス的系（2）を出発点とし、これはスプロットE系を変更して得られたものである。
• 特に、複素数の累乗写像（x + iz)^n = u + iv を用いた対称変換を適用し、y軸の周りにn重回転対称性を持つ系を生成する。
• 変換により、x-z平面に一様に分布するn個の平衡点が導入され、平衡点の数は変換における累乗の指数nに依存する。
• 元の系におけるパラメータ'a'を調整することで、平衡点の安定性を制御できる：a > 0 ならば安定平衡点、a < 0 ならば不安定平衡点となる。
• リャプノフ指数の計算を含む数値的解析を用いて、異なるパrameter領域におけるカオス的挙動の確認を行った。
• ヤコビ行列の解析を用いて、平衡点の固有値を評価し、安定性タイプ（例：安定ノード・フォーカス、不安定サドル・フォーカス）を特定した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 事前に指定された数の平衡点を有するカオス的系を体系的に設計できるか？
• RQ2 平衡点の安定性（安定対不安定）が、結果として得られるカオス的アトラクタの構造にどのように影響するか？
• RQ3 完全に平衡点を持たないが、依然としてカオス的ダイナミクスを示すカオス的系を生成することは可能か？
• RQ4 3次元自己動的系において、1つの調整可能なパラメータによって平衡点の数と安定性を制御できるか？
• RQ5 平衡点の数と安定性が、システムのグローバルなカオス的挙動と、本質的にどのような関係にあるか？

主な発見

• パラメータa < 0のとき、系（1）は平衡点を有さないが、依然としてカオス的アトラクタを示した。
• a > 0 の系（2）は、(1/4, 1/16, -16a)に正確に1つの安定平衡点を有する。a = 0.006のとき、固有値は -0.9607 および -0.0197±0.5098i で確認された。
• (x + iz)^2 変換を適用することで、系（6）は2つの対称的平衡点を生成する。a = 0.003 のとき、安定（固有値：-0.9334, -0.0333±0.5165i）、a = -0.01 のとき、不安定（固有値：-1.0617, 0.0308±0.4843i）。
• (x + iz)^3 変換により、系（12）は3つの対称的平衡点を生成する。a = 0.01 のとき、安定（固有値：-0.9334, -0.0333±0.5165i）、a = -0.01 のとき、不安定（固有値：-1.0617, 0.0308±0.4843i）。
• (x + iz)^5 変換により、5つの対称的平衡点を有する系が得られ、a = 0 のとき5弁のカオス的アトラクタが確認された。数値シミュレーションで裏付けられた。
• さまざまなパラメータ値において、最大リャプノフ指数は正の値を示し、複数の平衡点を有するすべての構築済みシステムでカオス的ダイナミクスが確認された。