[論文レビュー] Constructing copulas from shock models with imprecise distributions

Matjaž Omladič, Damjan Škulj|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2018

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 66被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、分布の不確実性を伴う状況下で、pボックスを用いて不確実な周辺分布を表現し、ショックモデルに基づいて不確かなコピュラを構築する。標準的な不確かなコピュラよりも強い条件を満たす、マーシャルのコピュラおよびmaxminコピュラの不確かな版を導入し、不確かなスクラーの定理が完全に適用されない場合でさえも、よりきめの細かい関連性の境界を提供する。

ABSTRACT

The omnipotence of copulas when modeling dependence given marg\-inal distributions in a multivariate stochastic situation is assured by the Sklar's theorem. Montes et al.\ (2015) suggest the notion of what they call an \emph{imprecise copula} that brings some of its power in bivariate case to the imprecise setting. When there is imprecision about the marginals, one can model the available information by means of $p$-boxes, that are pairs of ordered distribution functions. By analogy they introduce pairs of bivariate functions satisfying certain conditions. In this paper we introduce the imprecise versions of some classes of copulas emerging from shock models that are important in applications. The so obtained pairs of functions are not only imprecise copulas but satisfy an even stronger condition. The fact that this condition really is stronger is shown in Omladi\v{c} and Stopar (2019) thus raising the importance of our results. The main technical difficulty in developing our imprecise copulas lies in introducing an appropriate stochastic order on these bivariate objects.

研究の動機と目的

• ショックモデルに基づくコピュラ（マーシャルのものおよびmaxminのもの）を、不確かな周辺分布が与えられる状況へと拡張すること。
• 周辺分布が正確に分かっているのではなく、境界（pボックス）でしか特定できない状況における依存構造のモデリングという課題に取り組むこと。
• ショックモデルの構造を尊重する二変量不確かなコピュラのための確率的順序の枠組みを構築すること。
• 得られた不確かなコピュラが、モンテスらが定義した不確かなスクラーの定理を満たすか、あるいはより強い条件を満たすかを調査すること。
• ショックモデルに不確かな入力を適用する際、既存の不確かなコピュラフレームワークの限界を明確にすること。

提案手法

• 部品の寿命をショックプロセスでモデル化する：個別的ショック（X, Y）と共通の外部ショック（Z）を想定し、寿命をU = min{X,Z}, V = min{Y,Z}（マーシャル）またはU = max{X,Z}, V = min{Y,Z}（maxmin）で定義する。
• 不確かな周辺分布をpボックス（F̲X, F̄X）および（F̲Y, F̄Y）で表現する。これは累積分布関数の下限と上限を表す。
• ショックモデルとpボックス制約に基づいて、(U,W)の連関数H(x,y)を区分的表現で定義する。
• pボックス内でのショック分布の極値選択を用いて、連関数Hの下界H̲と上界H̄を導出する。
• コピュラそのものではなく、ショックレベルの不確実性に基づいた二変量関数の確率的順序を定義し、妥当な確率的解釈を保証する。
• 結果として得られる境界（H̲, H̄）が、標準的な不確かなコピュラよりも強い条件を満たす二変量pボックスを形成することを確立し、コロナリー2および3で示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーシャルのコピュラおよびmaxminコピュラは、不確かな周辺分布が与えられる状況に意味的に拡張可能か？
• RQ2 得られた不確かなコピュラは、モンテスらが定義する不確かなスクラーの定理を満たすか？
• RQ3 得られた不確かなコピュラが、標準的な不確かなコピュラの定義を越えて、より強い構造的条件を満たすか？
• RQ4 ショックがpボックスでモデル化される場合、二変量不確かな対象における確率的順序はどのように定義すべきか？
• RQ5 連関数の境界（H̲, H̄）が、境界周辺分布に境界コピュラを適用することで得られないという事実の意味は何か？

主な発見

• 本稿は、コロナリー2および3で示されるように、標準的な不確かなコピュラよりも強い条件を満たすマーシャルのコピュラおよびmaxminコピュラの不確かな版を構築している。
• 得られた連関数の境界（H̲, H̄）は、境界周辺分布に境界コピュラを適用することで得られないため、この設定では不確かなスクラーの定理が成立しないことが示唆される。
• 境界（H̲, H̄）は、pボックス内でのショック分布の極値化によって得られ、H̲はF̲X, F̲Yの下限を、H̄はF̄X, F̄Yの上限を取ることで達成される。
• 連関数H(x,y)は区分的関数として定義される：x ≤ yのときH(x,y) = F̲X(x)FZ(x)、x ≥ yのときH(x,y) = F̲X(x)[FZ(y) + F̲Y(y)(FZ(x) − FZ(y))]であり、上界に対しても同様の式が成り立つ。
• 下界および上界の連関数はH̲ ≤ H̄を満たし、ペア（H̲, H̄）は、すべての可能な連関数を記述する二変量pボックスを形成する。
• 本稿は、不等式CMMφ,χ ≤ CMMφ̄,χ̄が一般には成り立たないことを示しており、これはコピュラレベルの順序が通常の意味で単調ではないことを示しており、ショックモデルにおける不確かな依存構造モデリングの複雑さをさらに強調している。