[論文レビュー] Constructing Entanglers in 2-Players--N-Strategies Quantum Game

Y. Avishai|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2014

Quantum Mechanics and Applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2人対戦・N戦略量子ゲームにおけるパラメータ化されたもつれ演算子 $J(\beta)$ を構築する2つの手法を提案する。これにより、得られるもつれ状態 $|\Psi_1\rangle = J(\beta)|\Psi_0\rangle$ のヴォイナーマン・エントロピー $\mathcal{S}_N(\beta)$ が、$\beta$ の変化に応じて $[0, \log N]$ を連続的かつ完全にカバーする。最初の手法は古典的戦略の指数関数に基づくが、$N \leq 4$ の場合にのみ有効である。2番目の手法は、特別に構築した行列 $R$ のユニタリ対角化を用いるもので、任意の $N$ に対して単一パラメータの完全性を達成し、スミット分解状態を介してもつれ具合を完全に制御可能となる。

ABSTRACT

In quantum games based on 2-player--$N$-strategies classical games, each player has a quNit (a normalized vector in an $N$-dimensional Hilbert space ${\cal H}_N$) upon which he applies his strategy (a matrix $U \in$ SU(N)). The players draw their payoffs from a state $|Ψ a=J^\dagger U_1 \otimes U_2 J|Ψ_0 a \in {\cal H}_N \otimes {\cal H}_N $. Here $|Ψ_0 a$ and $J$ (both determined by the game's referee) are respectively an {\it unentangled} 2-quNit (pure) state and a unitary operator such that $|Ψ_1 a \equiv J|Ψ_0 a \in {\cal H}_N \otimes {\cal H}_N$ is {\it partially entangled}. The existence of pure strategy Nash equilibrium in the quantum game is intimately related to the degree of entanglement of $|Ψ_1 a$. Hence, it is practical to design the entangler $J=J(β)$ to be dependent on a {\it single} real parameter $β$ that controls the degree of entanglement of $|Ψ_1 a$, such that its von-Neumann entropy $ {\cal S}_N(β)$ is continuous and obtains {\it any value} in $[0, \log N]$. Moreover, an efficient control of $ {\cal S}_N(β)$ is possible only if $|Ψ_1 a$ appears in a Schmidt decomposed form. Designing $J(β)$ for $N=2$ is quite standard. Extension to $N>2$ is not obvious, and here we suggest an algorithm to achieve it.

研究の動機と目的

• 2人対戦・N戦略量子ゲームにおけるもつれ具合を連続的かつ単一パラメータで制御可能なもつれ演算子 $J(\beta)$ を設計すること。
• 得られるもつれ状態 $|\Psi_1\rangle = J(\beta)|\Psi_0\rangle$ がスミット形式にあり、ヴォイナーマン・エントロピーの効率的計算が可能であることを保証すること。
• 任意の $N$ に対して、$\mathcal{S}_N(\beta)$ が $[0, \log N]$ を連続的にカバーする単一パラメータの完全性を達成すること。
• 標準的なもつれ演算子が $N > 4$ 時に最大もつれに到達できないという制限を克服すること。
• 任意の $N$ 次元量子戦略に適用可能な体系的かつスケーラブルな方法により、$J(\beta)$ を構築すること。

提案手法

• 最初の列の成分がすべて等しい $N \times N$ ユニタリ行列 $R$ を構築し、$R|11\rangle = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{i=1}^N |ii\rangle$ となるようにし、これは最大もつれ状態であることを保証する。
• $R = V\Lambda V^{-1}$ と対角化し、$\Lambda = \text{diag}\{e^{i\eta_1}, \dots, e^{i\eta_N}\}$ とすることで、固有位相 $\eta_i$ を抽出する。
• $J(\beta) = V \Lambda(\beta) V^{-1}$ を定義し、$\Lambda(\beta) = \text{diag}\{e^{i\beta\eta_1}, \dots, e^{i\beta\eta_N}\}$ とすることで、$J(0) = \mathbf{1}$ かつ $J(1) = R$ となるようにする。
• $|\Psi_1\rangle = J(\beta)|11\rangle$ はスミット形式にあるため、縮約密度行列の固有値を直接用いて $\mathcal{S}_N(\beta)$ を計算可能となる。
• 非特異行列 $A$ を構築し、グラム・シュミット法を用いて正規直交化して $R$ を得ることで、ユニタリ性と望ましい最初の列の性質を保証する。
• $\mathcal{S}_N(\beta)$ が $\beta$ に関して連続的であり、$\mathcal{S}_N(0) = 0$ かつ $\mathcal{S}_N(1) = \log N$ であることを確認することで、単一パラメータの完全性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $N$ に対して、単一パラメータのもつれ演算子 $J(\beta)$ を構築可能であり、得られるもつれ状態 $|\Psi_1\rangle = J(\beta)|\Psi_0\rangle$ のヴォイナーマン・エントロピー $\mathcal{S}_N(\beta)$ が $[0, \log N]$ を連続的にカバーするか。
• RQ2 標準的な指数関数的構成 $J(\beta) = e^{-i\beta \sigma_y \otimes \sigma_y / 2}$ が $N > 4$ 時に最大もつれに到達できないのはなぜか。
• RQ3 出力状態がスミット形式にあることを保証するように、ユニタリ演算子 $J(\beta)$ を体系的に設計する方法は何か。
• RQ4 $N > 4$ に対して、周期性を回避しもつれ具合を完全に制御可能な方法で単一パラメータの完全性を達成することは可能か。
• RQ5 任意の $N$ に対して、スミット構造を保ちつつ連続的なもつれ調整が可能な、構成的かつスケーラブルな方法により $J(\beta)$ を生成するにはどうすればよいか。

主な発見

• 最初の手法、すなわち古典的戦略の指数関数に基づくものでは、$N = 2,3,4$ の場合に $\mathcal{S}_N(\beta)$ が連続的かつ $[0, \log N]$ をカバーするが、$N > 4$ 時には $\mathcal{S}_N(\beta) < \log N$ となるため失敗する。
• $N = 5$ の場合、提案された対角化に基づく手法により $\mathcal{S}_5(0) = 0$ かつ $\mathcal{S}_5(1) = \log 5$ が達成され、その間で連続的に変化することが確認され、単一パラメータの完全性が裏付けられた。
• $N = 5$ の場合に構築された $J(\beta)$ は、スミット分解状態 $|\Psi_1\rangle = J(\beta)|11\rangle$ を生成し、$\mathcal{S}_N(\beta)$ の正確かつ効率的な計算が可能となった。
• $R$ の固有位相 $\eta_i$ は一般に $\pi$ の無理数倍であるため、$\mathcal{S}_N(\beta)$ は周期的ではないが、連続性や完全性に影響しない。
• この手法は一般性とスケーラビリティに優れる：任意の $N$ に対して、最初の列の成分が等しい行列 $A$ をグラム・シュミット法で正規直交化して $R$ を構築することで、$\beta = 1$ 時に $R|11\rangle$ が最大もつれ状態となることが保証される。
• ヴォイナーマン・エントロピー $\mathcal{S}_N(\beta)$ は $\beta \in [0, \infty)$ で連続的であり、$\mathcal{S}_N(0) = 0$ かつ $\mathcal{S}_N(1) = \log N$ を満たすため、すべての $N$ に対して単一パラメータの完全性が満たされる。