[論文レビュー] Construction of divisible formal weight enumerators and extremal polynomials not satisfying the Riemann hypothesis

Koji Chinen|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、二項モーメントを用いた可除形式的重み列挙の構成アルゴリズムを導入し、リーマン予想を破る極値形式的重み列挙の発見を可能にする。$ q = 4+2\sqrt{2} $、$ 2+2\sqrt{5}/5 $、および $ 8+4\sqrt{3} $ に関連する環において明示的な例を特定し、極値形式的重み列挙がリーマン予想を満たさないことがあることを示し、符号理論およびゼータ関数論における長年の予想に挑戦する。

ABSTRACT

The formal weight enumerators were first introduced by M. Ozeki. They form a ring of invariant polynomials which is similar to that of the weight enumerators of Type II codes. Later, the zeta functions for linear codes were discovered and their theory was developed by I. Duursma. It was generalized to certain invariant polynomials including Ozeki's formal weight enumerators by the present author. One of the famous and important problems is whether extremal weight enumerators satisfy the Riemann hypothesis. In this paper, first we formulate the notion of divisible formal weight enumerators and propose an algorithm for the efficient search of the formal weight enumerators divisible by two. The main tools are the binomial moments. It leads to the discovery of several new families of formal weight enumerators. Then, as a result, we find examples of extremal formal weight enumerators which do not satisfy the Riemann hypothesis.

研究の動機と目的

• 可除性（特に2で割り切れる）を満たす形式的重み列挙の探索に効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 極値形式的重み列挙がリーマン予想を満たすかどうかを調査すること。これは符号理論における中心的な未解決問題である。
• 古典的タイプII符号に限らない、実数パラメータ $ q \neq 1 $ における形式的重み列挙に対するゼータ関数理論を拡張すること。
• 特に $ q = 4 \pm 2\sqrt{2} $、$ 2 \pm 2\sqrt{5}/5 $、$ 8 \pm 4\sqrt{3} $ における不変多項式環の構造的差異を調査し、リーマン予想との関係を明らかにすること。

提案手法

• 形式的重み列挙は、実数 $ q > 0 $、$ q \neq 1 $ に対して、一般化されたマクマイルズ変換 $ \sigma_q $ に関して不変な斉次多項式として定義され、$ W^{\sigma_q}(x,y) = -W(x,y) $ を満たす。
• 2で割り切れる可除性は、非ゼロ係数がすべて2の倍数のインデックスに対応するように制約を課すことによって実現される。
• 二項モーメントを用いて $ q $ に関する制約を導出し、各次数に対して体系的な候補生成が可能になる。
• 形式的重み列挙からゼータ多項式が構成され、実軸上で中間値の定理を用いてその根の分布を解析し、リーマン予想の破れを検出する。
• 特定の $ q $ に対して、$ R_q^{-} = \mathbb{C}[W_{2,q}(x,y), \varphi_n^{\pm}(x,y)] $ の環にこの手法を適用し、$ q = 4+2\sqrt{2} $、$ 2+2\sqrt{5}/5 $、$ 8+4\sqrt{3} $ を含む。
• 極値の場合、三角関数的置換 $ T = \cos\theta $ を用いて正規化されたゼータ多項式を解析し、すべての根が単位円上にあるかどうかをテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非整数の実数パラメータ $ q $ に対して構成された極値形式的重み列挙は、古典的タイプII符号の場合と同様にリーマン予想を満たすのか？
• RQ2 二項モーメント法は、特に $ c=2 $ の場合に、可除形式的重み列挙を効率的に生成できるのか？また、この手法が $ q $ に課す制約は何か？
• RQ3 なぜ $ q = 4+2\sqrt{2} $、$ 2+2\sqrt{5}/5 $、$ 8+4\sqrt{3} $ の環は極値形式的重み列挙がリーマン予想を満たさないのに対し、それらの共役対応物は満たすのか？
• RQ4 環 $ R_q^{-} $ において、$ q $ とその共役の間でリーマン予想の満たされ方の非対称性には、構造的または算術的根拠があるのか？
• RQ5 これらの一般化された環における形式的重み列挙に対して、マロウズ＝スローンの境界の類似を確立できるか？

主な発見

• 本稿は、$ R_{4+2\sqrt{2}}^{-} $ 上で次数24、最小重み8の新しい極値形式的重み列挙の族を構成し、これがリーマン予想を満たさないことを証明する。
• $ q = 2+2\sqrt{5}/5 $ の場合、極値形式的重み列挙 $ \varphi_{10}^{+}(x,y) $ は、そのゼータ多項式に対する実軸上の中間値定理の適用により、リーマン予想を破ることが確認された。
• 一方、$ q = 2-2\sqrt{5}/5 $ の場合、$ \varphi_{10}^{-}(x,y) $ は、正規化されたゼータ多項式のすべての根が単位円上にあるため、リーマン予想を満たす。
• 同様に、$ q = 8+4\sqrt{3} $ の場合、$ \varphi_{12}^{+}(x,y) $ はリーマン予想を破るが、$ q = 8-4\sqrt{3} $ の場合、$ \varphi_{12}^{-}(x,y) $ はそれを満たす。
• 本稿は、$ R_{4+2\sqrt{2}}^{-} $ 上に極値形式的重み列挙がリーマン予想を満たさないことを特定したが、極値多項式は存在する。
• 著者らは顕著な非対称性を観察した：$ q < 4 $ の環ではリーマン予想を満たす極値形式的重み列挙が豊富に存在するが、対応する $ q > 4 $ の場合では存在しない。これは深い構造的不均衡を示唆している。