[論文レビュー] Construction of Hilbert and Quot Schemes

Nitin Nitsure|ArXiv.org|Apr 29, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 41

ひとこと要約

この論文は、グロタンディークによるヒルベルトおよびクォットスキームの構成について、代表可能性を降下理論とコhom的技法を用いて確立する包括的な解説的記述を提供する。ヒルベルトおよびクォット函手が局域ネーター的スキームによって代表可能であることを証明し、代数幾何におけるモジュライ理論の基盤を築くものであり、平坦性、射影性、スキーム的同値関係に関する有効な商についての主要な結果を含む。

ABSTRACT

This is an expository account of Grothendieck's construction of Hilbert and Quot Schemes, following his talk `Techniques de construction et theoremes d'existence en geometrie algebriques IV : les schemas de Hilbert', Seminaire Bourbaki 221 (1960/61), together with further developments by Mumford and by Altman and Kleiman. Hilbert and Quot schemes are fundamental to modern Algebraic Geometry, in particular, for deformation theory and moduli constructions. These notes are based on a series of six lectures in the summer school `Advanced Basic Algebraic Geometry', held at the Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics, Trieste, in July 2003.

研究の動機と目的

• グロタンディークのオリジナルのボルバキ・セミナー発表に基づき、ヒルベルトおよびクォットスキームの構成について、詳細かつアクセス可能な解説を提供すること。
• ヒルベルトおよびクォット函手がスキームとして代表可能であることを確立し、それらをモジュライ問題に応用可能にする。
• これらのスキームが変形理論や他のモジュライ空間の構成において、基礎的ツールとしてどのように機能するかを示すこと。
• 特にネーター的の場合に、スキーム的同値関係に関する有効な商を含む理論の拡張を行うこと。

提案手法

• スキームを集合への反変函手として表す、ポイント関手のアプローチを用いる。
• fpqc位相における降下理論を適用し、函手のシャリー条件を保証することで、代表可能性の必要条件を満たす。
• コホモロジー的技法を用い、カステルヌオヴォ＝マウムフォード正則性および平坦化ストラティフィケーションを用いて、層の族を制御する。
• 普遍的ファミリーと引き戻しによる普遍性を用いて、ヒルベルトおよびクォットスキームを構成する。
• 平坦性の局所的基準および平坦かつ射影的準同型の性質を用いて、代表可能性を検証する。
• スキーム的同値関係および等化子の理論を用いて有効な商を構成し、商準同型が忠実平坦かつ射影的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影空間内の平坦な部分スキームの族をパラメトライズするヒルベルト函手は、スキームによって代表可能か？
• RQ2 固定された層の平坦な商の族をパラメトライズするクォット函手は、スキームによって代表可能か？
• RQ3 スキーム的同値関係がスキームとしての有効な商を持つための条件は何か？
• RQ4 降下およびコホモロジー的技法を用いて、ヒルベルトおよびクォット函手の代表可能性をどのように確立できるか？
• RQ5 スキームのスキーム的同値関係による商が、準射影的かつ忠実平坦であるための条件は何か？

主な発見

• ヒルベルト函手 $\mathfrak{Hilb}_{{\mathbb{P}}^{n}}$ は、局所ネーター的スキーム $\mathrm{Hilb}_{{\mathbb{P}}^{n}}$ によって代表可能であり、これは $\mathbb{P}^n$ 内の平坦な部分スキームの族をパラメトライズする。
• クォット函手 $\mathfrak{Quot}_{\oplus^r \mathcal{O}_{{\mathbb{P}}^{n}}}$ は、局所ネーター的スキーム $\mathrm{Quot}_{\oplus^r \mathcal{O}_{{\mathbb{P}}^{n}}}$ によって代表可能であり、ランク $r$ の自明層の商の族をパラメトライズする。
• ネーター的スキーム $S$ および強いつまりの射影的準同型 $X \to S$ に対して、射影的かつ平坦な射を持つスキーム的同値関係 $R \rightrightarrows X$ は、$S$ 上で忠実平坦かつ強いつまりの射影的である有効な商 $X \to Q$ を持つ。
• 商スキーム $Q$ は $S$ 上で強く準射影的であり、準同型 $X \to Q$ は $R$ の二つの射影の等化子であるため、有効な代表可能性が保証される。
• この構成は、$X \times_S H$ の閉部分スキーム $D \subset X \times_S H$ が存在することに依存し、これはペア $(x, \varphi(x))$ をパラメトライズする。これにより、降下を用いて $Q$ をヒルベルトスキーム $H$ の閉部分スキームとして構成できる。
• 普遍性により、任意の基底 $S$ 上の平坦なファミリーは、ヒルベルトまたはクォットスキーム上の普遍的ファミリーの引き戻しとして、一意的な準同型 $S \to \mathrm{Hilb}$ または $S \to \mathrm{Quot}$ を用いて得られる。