[論文レビュー] Construction of optimal locally repairable codes via automorphism groups of rational function fields

Lingfei Jin, Liming Ma+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2017

Advanced Data Storage Technologies参考文献 12被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、有限体上の有理関数体の自己同型群を用いて、小規模なアルファベットサイズを有する最適な局所的修復可能符号（LRC）を構築する。PGL₂(q) の部分群、特に巡回群や折返し群を活用することで、反射的局所性とコード長 n ≤ q+1 を満たす q-ary LRC の明示的構成が得られ、Singleton型の上限に達する。

ABSTRACT

Locally repairable codes, or locally recoverable codes (LRC for short) are designed for application in distributed and cloud storage systems. Similar to classical block codes, there is an important bound called the Singleton-type bound for locally repairable codes. In this paper, an optimal locally repairable code refers to a block code achieving this Singleton-type bound. Like classical MDS codes, optimal locally repairable codes carry some very nice combinatorial structures. Since introduction of the Singleton-type bound for locally repairable codes, people have put tremendous effort on constructions of optimal locally repairable codes. Due to hardness of this problem, there are few constructions of optimal locally repairable codes in literature. Most of these constructions are realized via either combinatorial or algebraic structures. In this paper, we employ automorphism groups of rational function fields to construct optimal locally repairable codes by considering the group action on the projective lines over finite fields. It turns out that we are able to construct optimal locally repairable codes with reflexibility of locality as well as smaller alphabet size comparable to the code length. In particular, we produce new families of $q$-ary locally repairable codes, including codes of length $q+1$ via cyclic groups and codes via dihedral groups.

研究の動機と目的

• 分散ストレージシステムにおける、小規模なアルファベットサイズと効率的な局所性を有する最適な局所的修復可能符号（LRC）を構築する課題に対処すること。
• 指数的に大きなアルファベットサイズを必要とする既存の構成や、制限の厳しい局所性条件に起因する制限を克服すること。
• 代数的幾何学と有理関数体の自己同型群を用いて、既存の構成を一般化すること。
• 巡回群や折返し群を含む PGL₂(q) の部分群を用いて、最適な LRC の明示的で体系的な構成を提供すること。
• PGL₂(q) にサイズ r+1 の部分群が存在する条件に基づき、長さ n ≤ q+1 かつ局所性 r の最適な LRC が存在するための条件を確立すること。

提案手法

• 有限体 𝔽_q 上の有理関数体 𝔽_q(x) の自己同型群を用い、𝔽_q 上の射影直線への群作用によって LRC を構築する。
• PGL₂(q) の部分群、例えば巡回群や折返し群を用い、分岐および分裂の挙動を制御した関数体を定義する。
• 群作用に関して不変な関数 z を用い、係数が 𝔽_q(z) に属する x の多項式からなる関数空間 V を定義する。
• 関数空間 V と有理点の集合 𝔓 から、代数的幾何符号 C(𝔓, V) を構築し、局所性と最適性を保証する。
• リーマン・ロッホの定理を用いて符号の次元と最小距離を推定し、Singleton型の上限に達していることを検証する。
• 群作用の構造により、各座標が高々 r 個の他の座標から復元可能であることを確認することで、符号が局所性 r を有することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的幾何的手法を用いて、組合せ的または符号理論的構成に代わる、最適な局所的修復可能符号を体系的に構築できるか？
• RQ2 q, r, n にどのような条件下で、アルファベットサイズがコード長と同等の q-ary 最適 LRC が存在するか？
• RQ3 有理関数体の自己同型群をどのように用いることで、LRC における反射的局所性と効率的な修復を保証できるか？
• RQ4 PGL₂(q) の部分群、特に巡回群や折返し群が、特定のパラメータを持つ LRC の構築に果たす役割は何か？
• RQ5 特定の部分群に限らず、PGL₂(q) のすべての部分群に一般化して構築可能か？また、最適性の必要十分条件は何か？

主な発見

• PGL₂(q) にサイズ r+1 の部分群が存在する限り、長さ n ≤ q+1 かつ局所性 r の最適な LRC が存在し、(r+1) が n を割り切る。
• 巡回群および折返し群を用いた PGL₂(q) の部分群を用いて、q-ary 最適 LRC の明示的構成が得られ、Singleton型の上限に達する。
• q = 16 の場合、局所性 5 の最適な [12, 5t, 14−6t]-LRC が 1 ≤ t ≤ 2 の範囲で構築される。
• q = 64 の場合、パラメータ [60, 5t, 62−6t]（局所性 5、1 ≤ t ≤ 10）、[56, 13t, 58−14t]（局所性 13、1 ≤ t ≤ 4）、[54, 17t, 56−18t]（局所性 17、1 ≤ t ≤ 3）の最適な 64-ary LRC が構築される。
• q = 64 かつ h | 65 の場合、パラメータ [50, 9t, 52−10t]（局所性 9、1 ≤ t ≤ 5）および [26, 25, 2]（局所性 25）の最適な 64-ary LRC が構築される。