[論文レビュー] Construction of spectral invariants of Hamiltonian diffeomorphisms on general symplectic manifolds

Yong‐Geun Oh|arXiv (Cornell University)|May 4, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、任意のコンpaktoなシンプレクティック多様体（非正確および非有理的である場合を含む）に対して、フロアー homology 框組みの中での半無限サイクル上のミニマックスアプローチを用いて、ハミルトニアン微分同相写像のスペクトル不変量を構成する。主な貢献は、ハミルトニアン H とゼロでない量子コホモロジー類 a に対して、可縮ループ空間の普遍被覆上のノビコフ・フロアー・サイクルと双対性を用いて、連続的不変量 ρ(H; a) を定義することにある。

ABSTRACT

In this paper, we develop a mini-max theory of the action functional over the semi-infinite cycles via the chain level Floer homology theory and construct spectral invariants of Hamiltonian diffeomorphisms on arbitrary, especially on non-exact and non-rational, compact symplectic manifold (M, ω). To each given time dependent Hamiltonian function H and quantum cohomology class 0 ̸ = a ∈ QH ∗ (M), we associate an invariant ρ(H; a) which varies continuously over H in the C 0-topology. This is obtained as the mini-max value over the semi-infinite cycles whose homology class is ‘dual ’ to the given quantum cohomology class a on the covering space ˜Ω0(M) of the contractible loop space Ω0(M). We call them the Novikov Floer cycles. We apply the spectral invariants to the study of Hamiltonian diffeomorphisms in sequels of this paper.

研究の動機と目的

• 非正確および非有理的である場合を含む、任意のコンパクトなシンプレクティック多様体へのスペクトル不変量理論の拡張。
• 時変ハミルトニアン H およびゼロでない量子コホモロジー類 a に対して、連続的スペクトル不変量 ρ(H; a) の定義。
• チェーンレベルのフロアー homology の文脈において、半無限サイクル上のミニマックス理論の構築。
• 可縮ループ空間の普遍被覆上でのノビコフ・フロアー・サイクル（量子コホモロジー類と双対な半無限サイクル）の導入と利用。
• 今後の研究において、ハミルトニアン微分同相写像の研究をスペクトル不変量を通じて行う基盤を構築すること。

提案手法

• 構成は、チェーンレベルのフロアー homology 框組みの中での半無限サイクル上のミニマックス値を用いる。
• サイクルは、可縮ループ空間 Ω₀(M) の普遍被覆 ˜Ω₀(M) 上に定義される。
• サイクルのホモロジー類と量子コホモロジー類 a ∈ QH∗(M) の双対性を用いて不変量を定義する。
• 不変量 ρ(H; a) は、これらのサイクル上で作用関数のミニマックス値として得られる。
• この方法は、特定のホモロジー的性質を持つノビコフ・フロアー・サイクルの構造に依存する。
• 作用関数およびサイクル空間の位相的性質に依拠して、H の C⁰位相における ρ(H; a) の連続性が確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正確および非有理的である場合を含む一般のシンプレクティック多様体上でのハミルトニアン微分同相写像のスペクトル不変量は、どのように定義可能か？
• RQ2 正確性や有理化の仮定が成り立たない状況下で、このような不変量を定義する適切な幾何学的およびホモロジー的枠組みは何か？
• RQ3 チェーンレベルのフロアー homology の文脈において、半無限サイクル上のミニマックス構成は、ハミルトニアンの C⁰ 変動に対して連続的スペクトル不変量をもたらすか？
• RQ4 可縮ループ空間の普遍被覆上での量子コホモロジー類は、どのようにサイクルと双対に扱えるか？
• RQ5 ノビコフ・フロアー・サイクルは、作用関数のミニマックス化を通じてスペクトル不変量を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、正確性や有理化の有無にかかわらず、任意のコンパクトなシンプレクティック多様体 (M, ω) に対して、スペクトル不変量 ρ(H; a) を成功裏に構成した。
• 不変量 ρ(H; a) は、ハミルトニアン H の C⁰ 位相において連続的であり、微小な摂動に対しても安定性を保証する。
• 構成は、チェーンレベルのフロアー homology の文脈における作用関数の半無限サイクル上でのミニマックス値に依存する。
• 使用されたサイクルは、普遍被覆 ˜Ω₀(M) 上に定義され、与えられた量子コホモロジー類 a ∈ QH∗(M) と双対である。
• スペクトル不変量は、ハミルトニアンフローのホモトピー型にのみ依存するため、正しく定義されており、ハミルトニアン同相写像の類に関して不変である。
• この枠組みは、今後の研究において、スペクトル不変量を通じたハミルトニアン微分同相写像のさらなる研究の基盤を提供する。