[論文レビュー] Constructions of Maximally Recoverable Local Reconstruction Codes via Function Fields

Venkatesan Guruswami, Lingfei Jin+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2018

Advanced Data Storage Technologies参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、代数的関数体を用いた新しい構成により、従来の方法と比較して顕著に小さい体サイズを達成する、最大回復可能なローカル再構築符号（MR LRC）の構築を提示する。各ローカルグループを関数体上の異なる点（場所）に対応させ、単一の極のみをもつ関数から導かれるムーア行列を用いることで、ムーザー行列式の性質を応用して線形独立性を確立し、体サイズを h や a に関して指数関数的から多項式的または非指数関数的（sub-exponential）にまで削減する MR LRC を得る。特に、小規模な r と大規模な h の状況において、境界が著しく改善される。

ABSTRACT

Local Reconstruction Codes (LRCs) allow for recovery from a small number of erasures in a local manner based on just a few other codeword symbols. A maximally recoverable (MR) LRC offers the best possible blend of such local and global fault tolerance, guaranteeing recovery from all erasure patterns which are information-theoretically correctable given the presence of local recovery groups. In an $(n,r,h,a)$-LRC, the $n$ codeword symbols are partitioned into $r$ disjoint groups each of which include $a$ local parity checks capable of locally correcting $a$ erasures. MR LRCs have received much attention recently, with many explicit constructions covering different regimes of parameters. Unfortunately, all known constructions require a large field size that exponential in $h$ or $a$, and it is of interest to obtain MR LRCs of minimal possible field size. In this work, we develop an approach based on function fields to construct MR LRCs. Our method recovers, and in most parameter regimes improves, the field size of previous approaches. For instance, for the case of small $r \ll ε\log n$ and large $h \ge Ω(n^{1-ε})$, we improve the field size from roughly $n^h$ to $n^{εh}$. For the case of $a=1$ (one local parity check), we improve the field size quadratically from $r^{h(h+1)}$ to $r^{h \lfloor (h+1)/2 floor}$ for some range of $r$. The improvements are modest, but more importantly are obtained in a unified manner via a promising new idea.

研究の動機と目的

• 分散ストレージにおける実用的導入に不可欠な最大回復可能なローカル再構築符号（MR LRC）における体サイズの最小化という、長年の課題に取り組む。
• 既存の明示的構成よりも、より小さい体サイズを保証する、統一的で代数的幾何学的枠組みを関数体を用いて構築する。
• 関数体の幾何的性質を活用することで、特に小規模な局所性 r と大規模なグローバルパリティ数 h を有する状況において、従来の体サイズの境界を改善する。
• 既知の構成を回復しつつ、より広範なパrameter範囲に応用可能であり、より良い体サイズスケーリングを実現する体系的な手法を確立する。

提案手法

• 有限体上の代数的関数体を用いる。LRC の各ローカルグループを関数体曲線上の異なる場所（点）に対応付ける。
• 各ローカルグループに対して、その関連する場所に単一の極をもつ関数を用い、それらからムーア行列を構成し、符号のローカルパリティチェック部を形成する。
• 最大回復可能性に必要な線形独立性は、ムーザー行列式の性質を用いて、拡張体上での依存関係を基本体上での依存関係に還元することで証明する。
• 各ローカルグループ内では、基本体上でのMDS符号を直接的に用いたコード設計により、線形独立性を保証する。
• グローバルパリティチェックは、関数体の genus g に対して、次数 2g−1 の有理型関数の空間（Riemann-Roch空間）から導出される。
• 体サイズは q^{2g + min{hr, n}} で抑えられる。ここで q は基本体サイズ、g は genus、r は局所性、h はグローバルパリティ数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体理論を活用することで、現在の明示的構成よりも小さい体サイズの MR LRC を構築可能か？
• RQ2 小規模な r と大規模な h を有する状況において、MR LRC に必要な最小体サイズは何か？ さらに、h に関して指数関数的依存を越えて改善可能か？
• RQ3 既存の構成を一般化し、改善する統一的で代数的幾何学的枠組みを構築可能か？
• RQ4 関数体の幾何的性質（例えば、有理点の数や除数構造）は、符号パラメータおよび体サイズの境界にどのように対応するか？

主な発見

• r ≪ ε log n かつ h ≥ Ω(n^{1−ε}) の場合、体サイズは概ね n^h から n^{εh} にまで削減され、漸近的スケーリングにおいて顕著な改善が得られる。
• a = 1（1 群あたり 1 つのローカルパリティ）の場合、特定の r の範囲において、体サイズが r h(h+1) から r h ⌊(h+1)/2⌋ へと二次的に改善され、よりタイトな境界が達成される。
• ヘルミート関数体を用いることで、hr ≥ Ω(n^{2/3ε}) を満たす無限個のブロック長 n ≥ r^{Ω(r)} に対して、体サイズが O(n^{2h/3(1+ε)}) に抑えられる。
• ガルシア＝シュティヒェノウの塔を用いることで、hr ≥ Ω(n^{1−ε}) を満たす無限個の n ≥ r^{Ω(r/ε)} に対して、体サイズが O(n^{εh}) に抑えられ、非指数関数的体サイズスケーリングが実証される。
• 本手法は、特に高 h かつ低 r の状況において、既存の構成を回復し、それらを改善する統一的枠組みを提供する。
• 異なる場所に単一の極をもつ関数から導かれるムーア行列の使用により、ムーザー行列式の恒等式を応用して、ローカルグループ間で必要な線形独立性が保証される。