[論文レビュー] Constructive Polynomial Partitioning for Algebraic Curves in $\\mathbb{R}^3$ with Applications

Boris Aronov, Esther Ezra+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ℝ³における代数的曲線のための、初めての効率的なアルゴリズム的構成による多項式分割を提示する。これは、O(D³ log³D)個のセルに分解可能であり、各セルはO(n/D²)本の曲線と交差する。構築時間はO(n²)である。この手法を用いて、n本の非垂直な直線の間の奥行きサイクルをO(n^{3/2+ε})時間で除去・切断することができ、近似的に最適な性能を達成する。これはGuthの存在的分割に対する構造的でアルゴリズム的な代替手法である。

ABSTRACT

In 2015, Guth proved that for any set of $k$-dimensional bounded complexity varieties in $\\mathbb{R}^d$ and for any positive integer $D$, there exists a polynomial of degree at most $D$ whose zero set divides $\\mathbb{R}^d$ into open connected sets, so that only a small fraction of the given varieties intersect each of these sets. Guth's result generalized an earlier result of Guth and Katz for points. Guth's proof relies on a variant of the Borsuk-Ulam theorem, and for $k>0$, it is unknown how to obtain an explicit representation of such a partitioning polynomial and how to construct it efficiently. In particular, it is unknown how to effectively construct such a polynomial for bounded-degree algebraic curves (or even lines) in $\\mathbb{R}^3$. We present an efficient algorithmic construction for this setting. Given a set of $n$ input algebraic curves and a positive integer $D$, we efficiently construct a decomposition of space into $O(D^3\\log^3{D})$ open "cells," each of which meets $O(n/D^2)$ curves from the input. The construction time is $O(n^2)$. For the case of lines in $3$-space we present an improved implementation, whose running time is $O(n^{4/3} \\log^{O(1)} n)$. The constant of proportionality in both time bounds depends on $D$ and the maximum degree of the polynomials defining the input curves. As an application, we revisit the problem of eliminating depth cycles among non-vertical lines in $3$-space, recently studied by Aronov and Sharir (2018), and show an algorithm that cuts $n$ such lines into $O(n^{3/2+\\epsilon})$ pieces that are depth-cycle free, for any $\\epsilon > 0$. The algorithm runs in $O(n^{3/2+\\epsilon})$ time, which is a considerable improvement over the previously known algorithms.

研究の動機と目的

• 代数的曲線のための効率的で構造的なアルゴリズム的多項式分割を構築すること。Guthの元々の結果は非構造的であったため、これを克服すること。
• 各入力曲線と交差する数が少ないセルに空間を分割する実用的な手法を提供すること。これによりアルゴリズム的応用が可能になる。
• 構造的分割を用いて、3次元空間における非垂直な直線の間の奥行きサイクルを除去する問題に応用し、近似的に最適な境界を達成すること。

提案手法

• ℝ³⧵Z(f) が O(D³ log³D) 個のセルに分解され、各セルが O(n/D²) 本の曲線と交差するように、次数 O(D log D) の分割多項式 f を構築する。
• 定数次数の曲線に適応された多項式分割フレームワークの変種を用いる。代数幾何学的および計算代数的技術を活用する。
• 2段階のカット手順を適用する。まず、分割多項式の零点集合に沿ってカットを行う。次に、残存する奥行きサイクルを解消するためにセル境界に追加のカットを施す。
• 垂直半平面上での {P=0, ∂P/∂z=0} システムを解くための効率的アルゴリズムを用い、1本の直線あたり定数時間で二次的カットを計算する。これは適切な計算モデルを仮定した場合に有効である。
• 各部分問題を独立して処理する再帰的アプローチを採用し、カット数と実行時間の再帰的関係式を導出する。
• セル境界の管理と奥行きサイクル除去の正しさを保証するため、垂直分解とトラペゾイド分解の技術を統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ³における代数的曲線のための多項式分割を、Guthの結果のように存在的ではなく、アルゴリズム的に構築することは可能か？
• RQ2 このような分割の構築の計算量は何か？定数次数の曲線に対しては、近い二次時間で行えるか？
• RQ3 構造的分割を用いて、非垂直な直線の間の奥行きサイクルを、カット数と実行時間の両面で近似的に最適な境界を達成できるか？
• RQ4 行列乗算や近似アルゴリズムに依存する従来の手法と比較して、このアルゴリズム的構築は効率的で性能に優れているか？
• RQ5 この手法は、直線を越えて、定数次数の非垂直な代数的曲線へと一般化できる範囲はどの程度か？

主な発見

• 本稿では、ℝ³におけるn本の代数的曲線のための多項式分割をO(n²)時間で構築するアルゴリズムを提示する。この結果、O(D³ log³D)個のセルが得られ、各セルはO(n/D²)本の曲線と交差する。
• 直線の場合、一般の曲線の場合より高速なO(n^{4/3} polylog n)の構築時間が達成される。
• 互いに交差しないn本の非垂直な直線の間のすべての奥行きサイクルを、O(n^{3/2+ε})時間およびO(n^{3/2+ε})回のカットで除去・切断する。ε > 0 は任意である。
• カット数は近似的に最適であり、AronovとSharir（2018）の存在的上界と、多項対数因子を除いて一致する。
• Guthの非構造的分割に対する構造的代替手法を提供し、奥行きサイクル除去の実装可能性を高める。
• このアルゴリズムは、わずかな修正で定数次数の非垂直な代数的曲線へと拡張可能であり、同じ漸近的境界を維持する。