[論文レビュー] Continued fractions for permutation statistics

Sergi Elizalde|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、固定点、超過度、サイクル、逆転数などの置換統計量を、色付きモーツキン経路における同等の統計量に翻訳するための視覚的フレームワークを導入する。このフレームワークにより、連分数を用いた列挙が可能となる。主な貢献は、増加する超過度をもつ巡回置換がベル数によって数え上げられることの新しい証明であり、組合せ的双対写像と母関数を用いた既知の結果を拡張するものである。

ABSTRACT

We explore a bijection between permutations and colored Motzkin paths that has been used in different forms by Foata and Zeilberger, Biane, and Corteel. By giving a visual representation of this bijection in terms of so-called cycle diagrams, we find simple translations of some statistics on permutations (and subsets of permutations) into statistics on colored Motzkin paths, which are amenable to the use of continued fractions. We obtain new enumeration formulas for subsets of permutations with respect to fixed points, excedances, double excedances, cycles, and inversions. In particular, we prove that cyclic permutations whose excedances are increasing are counted by the Bell numbers.

研究の動機と目的

• 置換の統計量を、サイクル図を用いて色付きモーツキン経路の統計量に体系的かつ視覚的に翻訳するための方法を開発すること。
• 色付きモーツキン経路の母関数の連分数フレームワークを活用し、特定の組合せ的性質をもつ置換の部分集合の列挙を行うこと。
• 超過度、サイクル、固定点、逆転数に関する既知の置換列挙結果を回復し、拡張すること。
• 増加する超過度をもつ巡回置換がベル数によって数え上げられることを証明すること。これは置換統計量の文脈において、新規かつ重要な結果である。

提案手法

• 本稿では、サイクル構造、固定点、超過度をドットと斜めの正方形の幾何的接続によって符号化する、置換の視覚的表現としてのサイクル図を導入する。
• サイクル図のタイプ（固定点、開き括弧、など）の斜め列を、上り、下り、水平のステップに写像することで、置換と色付きモーツキン経路の間の双対写像を定義する。
• フライオレットの連分数フレームワークを用いて、重み付きモーツキン経路の母関数を、経路の統計量から置換統計量の母関数に翻訳する。
• モーツキン経路のステップに重み系を導入し、高さに依存する重み d_h と ℓ_h を定義する。これらは各経路に写される置換の数を表し、連分数による列挙を可能にする。
• 本アプローチにより、パターン回避（例：321-回避）、サイクル構造（例：巡回置換）、超過度の単調性などの制約を課すことが可能となる。
• 重み列 d_h と ℓ_h の分析により、未知の組合せ的数列の逆工程を実行するメカニズムを提供する。これにより、未知の数列に対してより単純な閉形式を同定・推測できる可能性がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定点、超過度、サイクル、逆転数などの置換統計量を、色付きモーツキン経路の統計量に体系的に翻訳する方法は何か？
• RQ2 巡回置換における増加する超過度をもつ置換の母関数は何か？ そして、これは既知の組合せ的数列と関係があるか？
• RQ3 連分数フレームワークを用いて、サイクル構造と超過度条件によって定義される置換の部分集合を列挙できるか？
• RQ4 モーツキン経路の重み列 d_h と ℓ_h を用いて、未知の組合せ的数列の閉形式を同定または推測できるか？
• RQ5 ベル数と増加する超過度をもつ巡回置換との間に何の関係があるか？

主な発見

• 超過度が増加する巡回置換はベル数によって数え上げられ、これは古典的数列の新しい組合せ的解釈を提供する。
• 固定点、超過度、二重超過度、サイクル、逆転数に関する置換の母関数は、モーツキン経路対応により連分数として表現可能である。
• 本手法により、既知の置換統計量の等分布に関する結果（逆転数や弱超過度に関連するものも含む）が回復され、拡張される。
• カタラン数、モーツキン数、ベル数、階乗などのさまざまな組合せ的数列の重み列 d_h と ℓ_h が明示的に計算され、単純なパターンに従うことが示された。
• 本フレームワークにより、123パターンを回避する置換などのパターン回避置換の母関数が、連分数展開を用いて特定可能となる。
• d_h と ℓ_h を用いた逆工程メカニズムにより、初期項しか分かっていない数列に対して、生成関数がD-有限でない場合でも、閉形式を同定・推測する手がかりが得られる可能性がある。