[論文レビュー] Continuous Abelian Sandpile Model in Two Dimensional Lattice

N. Azimi-Tafreshi, El Mehdi Lotfi+1 more|ArXiv.org|Oct 17, 2007

Landslides and related hazards参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2次元正方格子上に連続的な高さ変数 h(u) ∈ [0,1) を持つ連続アーベルサンドピラ模型（CASM）を導入する。このモデルでは、高さが1以上に達した格子点が、4つの近隣格子点に正確に1単位の高さを等分（各0.25）に再分配するトッピング則に従う。本モデルは標準アーベルサンドピラ模型（ASM）に解析的に写像可能であり、自己組織的臨界性と同一の高さ確率分布を保つ。これにより、連続変数を用いた散逸効果や境界条件の新たな検討が可能になる。

ABSTRACT

We define a new version of sandpile model which is very similar to Abelian Sandpile Model (ASM), but the height variables are continuous ones. With the toppling rule we define in our model, we show that the model can be mapped to ASM, so the general properties of the two models are identical. Yet the new model allows us to investigate some problems such as effect of very small mass on the height probabilities, different boundary conditions, etc.

研究の動機と目的

• 2次元格子上に実数値の高さ変数を有するアーベルサンドピラ模型（ASM）の連続版を構築すること。
• CASMの配置とASMの配置との間の多対一写像を確立し、臨界的挙動および高さ確率分布の同一性を証明すること。
• 連続的高さ変数を用いて、散逸（トッピング時の質量損失）の効果が高さ確率分布に与える影響を調査すること。
• さまざまな境界条件（鋭い境界、非鋭的境界、反射境界など）が臨界的性質に与える影響を調査すること。
• ASMから得られる解析的手法（特に境界相関関数およびスケーリング指数）を連続的高さモデルへ拡張すること。

提案手法

• L×L正方格子上の各格子点 u = (i,j) に対して、連続的高さ変数 h(u) ∈ [0,1) を定義する。
• 高さ h(u) ≥ 1 を満たす格子点は、4つの最近接格子点に正確に1単位の高さを等分（各1/4）に再分配し、h(u) = h(u) - 1 とするトッピング則を実装する。
• 各時刻ステップで、[p,q] ⊂ [0,1) の範囲の均一乱数により砂をランダムに選択された格子点に追加する。
• 高さの量子化によりCASMの配置からASMの配置への写像を確立し、再帰的配置および高さ確率分布の同一性を証明する。
• トーペリッツ行列式理論およびウィドムの定理を用いて、境界相関関数の分配関数比の漸近的挙動を計算する。
• 像法およびグリーン関数を用いて、オープンおよびクローズド境界条件における境界欠陥行列のフーリエ係数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル性および元のASMの自己組織的臨界性を保つ連続的アーベルサンドピラ模型を構築可能か？
• RQ2 連続的モデルにおける高さ確率分布は、離散的ASMと比較してどのように異なるか、特に質量の小刻み追加時においては？
• RQ3 トッピング時に質量損失を伴う散逸を導入した場合、連続的モデルにおける高さ確率分布にどのような影響が生じるか？
• RQ4 鋭い境界、非鋭的境界、反射境界といった異なる境界条件が、連続的モデルにおけるスケーリング挙動および相関関数に与える影響は？
• RQ5 ASMから得られる解析的手法（分配関数比、境界オペレーターのスケーリングなど）を連続的高さモデルへ拡張可能か？

主な発見

• CASMは解析的に標準ASMに写像可能であり、両モデルが同一の再帰的配置および高さ確率分布を有することを確認した。
• CASMにおける高さ確率分布は、幅が等しい4つの段差（各1/4）を示し、確率はそれぞれ p(1) = 0.0736 ± 0.00008、p(2) = 0.1741 ± 0.0004、p(3) = 0.3064 ± 0.0007、p(4) = 0.4456 ± 0.001 であり、離散的ASMと正確に一致する。
• トッピング則を変更して散逸を導入することで、高さ確率分布が変化し、連続的枠組み内での非保存的ダイナミクスの研究が可能になる。
• 欠陥行列 B を持つ非鋭的境界条件では、分配関数比から得られる2点相関関数が、n^{-3/4} に比例する。これは、c = -2 の conformal field theory におけるスケーリング次元 3/8 のオペレーターを示唆する。
• 反射境界条件では、境界変化オペレーターの2点関数は、オープン反射条件下で n^{1/4}、クローズド反射条件下で n^0 に比例し、それぞれスケーリング指数 -1/8 および 0 を示唆する。
• 非鋭的境界条件における分配関数比の漸近的挙動は、n が大きい極限で既知のASMの結果と一致し、確立されたCFT予測と整合的であることが確認された。