[論文レビュー] Continuum Limits of Quantum Lattice Systems

Tobias J. Osborne|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2019

Quantum many-body systems被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、テンソルネットワーク状態を用い、ヘプ＝リーブのフラクチュエーション形式主義を一般化することで、量子格子系から有効な量子場理論をハミルトニアンに基づいて導出する枠組みを提示する。系は、自然に現れる連続的自由度を体系的に同定し、非ガウス型の量子場状態を構築する。行列積状態や投影エンタングルドペア状態の既知の連続極限を回復し、動的挙動における厳密な光円錐的因果関係を確立する。

ABSTRACT

We describe a general procedure to give effective continuous descriptions of quantum lattice systems in terms of quantum fields. There are two key novelties of our method: firstly, it is framed in the hamiltonian setting and applies equally to distinguishable quantum spins, bosons, and fermions and, secondly, it works for arbitrary variational tensor network states and can easily produce computable non-gaussian quantum field states. Our construction extends the mean-field fluctuation formalism of Hepp and Lieb (developed later by Verbeure and coworkers) to identify emergent continuous large-scale degrees of freedom - the continuous degrees of freedom are not identified beforehand. We apply the construction to to tensor network states, including, matrix product states and projected entangled-pair states, where we recover their recently introduced continuous counterparts, and also for tree tensor networks and the multi-scale entanglement renormalisation ansatz. Finally, extending the continuum limit to include dynamics we obtain a strict light cone for the propagation of information.

研究の動機と目的

• 量子格子系から有効な連続的量子場理論を体系的かつ操作的動機付けに基づいて導出するための方法の開発。
• ヘプとリーブの平均場フラクチュエーション形式主義を、非ガウス型および強い相関を持つ系を含むテンソルネットワーク状態へと拡張すること。
• 事前に定義せずに、格子状態の物理的構造に基づいて、自然に現れる連続的自由度を同定すること。
• バリエーショナルなテンソルネットワークアンザッツから、計算可能な非ガウス型の量子場状態を構築すること。
• 連続極限に動的挙動を含め、情報の伝播が光円錐に厳密に従うように保証すること。

提案手法

• 格子 $ a\mathbb{Z}^D $ 上に一般化された平均場アプローチを定式化し、テンソルネットワーク状態から古典的背景場を抽出する。
• ヘプ＝リーブの量子フラクチュエーション代数構成を適用し、古典的平均場状態まわりの量子場フラクチュエーションを同定する。
• 正準交換関係が連続極限で保たれるように、$ Z_{\varphi}(a) $ および $ Z_{\pi}(a) $ を用いたスケーリングにより、量子場演算子 $ \widetilde{\varphi}^{(a)}(f) $ と $ \widetilde{\pi}^{(a)}(g) $ を導出する。
• スケーリング作用素と固有値解析を用い、相関関数の収束を保証するための、場演算子の正しいべき乗則スケーリングを決定する。
• 連続極限 $ a \to 0 $ で標準的QFTの交換関係を回復するため、$ Z_{\varphi}(a)Z_{\pi}(a) = \frac{a}{p'} $ などの正規化条件を課す。
• この構成を行列積状態、PEPS、木構造テンソルネットワーク、MERAに適用し、既知の連続極限を回復するとともに、非ガウス状態へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、テンソルネットワーク状態で記述される量子格子系から、体系的に有効な量子場理論を導出できるか？
• RQ2 強い相関を持つ系において、量子フラクチュエーションは連続的自由度の出現にどのように寄与するか？
• RQ3 ヘプ＝リーブのフラクチュエーション形式主義は、非ガウス状態および任意のテンソルネットワーク構造へと一般化可能か？
• RQ4 動的挙動を含めることで、出現する量子場理論の因果構造はどのように変化するか？
• RQ5 相関関数の収束を保証するための場演算子のスケーリング挙動は何か？

主な発見

• この方法により、量子場基底状態 $ |\Omega\rangle $ と、連続極限で格子観測量に正確に写像される量子場演算子の集合が構築された。
• スピン1/2鎖系におけるマグニトン励起の例では、場演算子のスケーリングが $ Z_{\varphi}(a) = a^{\log_2(\sqrt{p} + \sqrt{1-p}) + 1/2} $ で与えられ、2点関数の収束が保証される。
• 連続極限により、明確に定義された2点相関関数 $ \int dx \int_{-1}^{1} dy \, f(x)g(x+y)C(y) $ が得られ、場理論的極限の存在が確認された。
• 準自由系に適用した場合、格子クライン＝ゴルドン方程式の標準的連続極限が回復された。
• 動的挙動への拡張により、情報伝播の厳密な光円錐が得られ、相対論的因果関係と整合的であることが示された。
• この方法は区別可能なスピン、ボソン、フェルミオンに対して一様に適用可能であり、テンソルネットワークアンザッツから計算可能な非ガウス型の量子場状態を生成する。