[論文レビュー] Contractive piecewise continuous maps modeling networks of inhibitory neurons

Eleonora Catsigeras, A. Rovella+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2008

Neural dynamics and brain function参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、スパイク誘発リセットとシナプス抑制によって制御される、区分的連続的かつ局所的収縮性であるポアンカレ写像でモデル化された、3個以上の抑制性ニューロンからなる一般のネットワークが、小さな摂動に対しても有限個の恒久的極限円周を有する周期的挙動のみを示すことを確立している。動的挙動はスパイク誘発リセットとシナプス抑制によって支配されており、主な結果は、写像の分離性および収縮性の性質のおかげで、このような系は位相的に一般に安定で観測可能な周期的発火パターンを持つことである。

ABSTRACT

We prove that a topologically generic network (an open and dense set of networks) of three or more inhibitory neurons have periodic behavior with a finite number of limit cycles that persist under small perturbations of the structure of the network. The network is modeled by the Poincare transformation which is piecewise continuous and locally contractive on a compact region B of a finite dimensional manifold, with the separation property: it transforms homeomorphically the different continuity pieces of B into pairwise disjoint sets.

研究の動機と目的

• スパイクベースの相互作用を有する大規模な抑制性ニューロンネットワークの長期的動的挙動を分析すること。
• このようなネットワークが恒久的かつ安定した周期的発火パターンを示す条件を確立すること。
• 周期的挙動が、小さな摂動に対しても、このようなネットワークの空間において一般的（開かつ稠密）であることを証明すること。
• 不連続性（スパイク）と局所的収縮性が周期軌道への収束を保証する役割を形式化すること。
• 抽象的な位相的力学系理論と生物学的に妥当な神経ネットワークモデルの橋渡しをすること。

提案手法

• 各ニューロンの積分・発火ダイナミクスに基づいて導出されたポアンカレ写像を用いてネットワークをモデル化すること。
• 写像をR^{n-1}内のコンパクト領域上で区分的連続的かつ局所的収縮的と定義し、シナプス抑制とスパイクリセットを反映させること。
• 連続性の領域が重複を避けるために互いに素性な集合に写像される「分離性」を導入し、位相的解析を可能にする。
• 位相的力学系理論の道具を用いて極限集合および漸近的挙動を分析すること。
• 摂動理論を用いて、ネットワークパラメータや構造の小さな変化に対しても周期的挙動がロバストであることを示すこと。
• 分離性および収縮性の性質に依拠して、このような写像の空間における密度および開性の議論により、一般性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≥ 3 個の抑制性ニューロンからなるネットワークは、どのような条件下で周期的挙動のみを示すか？
• RQ2 なぜこのような系では周期的挙動が一般的であり、非周期的（分岐的）なダイナミクスは不安定なのであろうか？
• RQ3 不連続性（スパイク）と局所的収縮性は、神経ネットワークの長期的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ4 ポアンカレ写像アプローチは、人工的な離散化を伴わず、リアルタイムの神経ダイナミクスを正確に捉えることができるか？
• RQ5 ネットワークパラメータの小さな摂動に対しても、有限個の恒久的極限円周はロバストな特徴であるか？

主な発見

• n ≥ 3 個の抑制性ニューロンに対して、ポアンカレ写像はR^{n-1}内のコンパクト集合上で区分的連続的かつ局所的収縮的である。
• 分離性により、連続性の領域が互いに素性な集合に写像され、位相的解析が可能になる。
• 一般系（開かつ稠密な部分集合に属する系）は、有限個の恒久的極限円周を有する唯一の周期的漸近的挙動を示す。
• 非一般的ダイナミクスは構造的に不安定であり、任意に小さな摂動によって破壊され、実際には観測不可能になる。
• スパイク間隔はゼロから離れており、位相同期を防ぎ、非自明な周期的パターンを保証する。
• nが非常に大きい場合でさえ、周期が極めて長くなる可能性があり、その結果、実用的には予測不能であり、混沌としたように見える。