[論文レビュー] Control of Homodirectional and General Heterodirectional Linear Coupled Hyperbolic PDEs

Long Hu, Florent Di Meglio+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、PDEバックステッピングを用いて、任意の数の連立線形双曲型PDEの境界安定化および軌道追従制御の一般解を提示する。同定された系は、すべてのPDEが同じ方向に伝播する同方向型（homodirectional）およびPDEが逆方向に伝播する異方向型（heterodirectional）の両方を含み、任意の結合係数を有する。主たる貢献は、有限時間安定化を保証するボルテラ積分変換に基づく新規な設計手法であり、全状態フィードバックおよびオブザーバベースの出力フィードバックを用いる。可解性は再帰的バウンド法により証明された。

ABSTRACT

Research on stabilization of coupled hyperbolic PDEs has been dominated by the focus on pairs of counter-convecting ("heterodirectional") transport PDEs with distributed local coupling and with controls at one or both boundaries. A recent extension allows stabilization using only one control for a system containing an arbitrary number of coupled transport PDEs that convect at different speeds against the direction of the PDE whose boundary is actuated. In this paper we present a solution to the fully general case, in which the number of PDEs in either direction is arbitrary, and where actuation is applied on only one boundary (to all the PDEs that convect downstream from that boundary). To solve this general problem, we solve, as a special case, the problem of control of coupled "homodirectional" hyperbolic linear PDEs, where multiple transport PDEs convect in the same direction with arbitrary local coupling. Our approach is based on PDE backstepping and yields solutions to stabilization, by both full-state and observer-based output feedback, trajectory planning, and trajectory tracking problems.

研究の動機と目的

• 任意の数の同方向型および異方向型輸送方程式を有する結合線形双曲型PDEの安定化という長年の未解決問題を解くこと。
• 1つの制御PDEに限った既存のバックステッピング手法を拡張し、同じ方向または逆方向に伝播する複数のPDEを有する系を扱うこと。
• 異方向型系に対してはゼロへの有限時間収束を保証する境界フィードバック則を設計し、同方向型系に対しては軌道追従制御を実現すること。
• 任意の結合係数および複数のPDEを有する一般系において、結果として得られるカーネル積分方程式の可解性を新しい再帰的バウンド技術を用いて確立すること。

提案手法

• 元の結合双曲型PDE系を、カスケード構造を持つ目標系に変換するPDEバックステッピング手法を用いる。
• ボルテラ積分変換を用いて元の系を目標系にマッピングし、安定化および追従制御の設計を可能にする。
• カーネル方程式は、新しい再帰的バウンドを用いた逐次近似法により解かれ、可解性が証明される。
• 古典的積分変換を用いることが可能となる特別な目標系の選択が行われる。
• 同方向型および異方向型の両方の系において、任意の結合係数および任意のPDE数を扱える。
• 同じバックステッピングフレームワークを用いて、境界測定値からのオブザーバベースの出力フィードバックが構築可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの境界制御で、同じ方向（同方向型）または逆方向（異方向型）に伝播する任意の数の結合双曲型PDEを安定化できるか？
• RQ2 任意の結合係数および複数のPDEを有する一般系において、カーネル積分方程式の可解性はどのように確立できるか？
• RQ3 異方向型および同方向型の一般系において、安定化および軌道追従制御を可能にする目標系の構造は何か？
• RQ4 1つの制御PDEに限らないバックステッピング変換は、同じ方向に伝播する複数のPDEにどのように拡張できるか？
• RQ5 カーネルの境界値が一時的性能をどのように規定するか？

主な発見

• 本稿では、1つの境界制御のみを用いて、任意の数のPDEを有する異方向型系において、すべての状態がゼロに有限時間で収束することを確立した。
• 同方向型系では、未制御境界で与えられた参照軌道を正確に追従する境界制御則が設計された。
• カーネル系の可解性は、新しい再帰的バウンド法により証明され、カーネル積分方程式の解の存在および一意性が保証された。
• バックステッピング変換が可逆であり、閉ループ系がH²ノルムにおいて指数的安定であることが示された。
• 本手法は任意の結合係数に対してロバストであり、小利得条件を必要としない。
• フレームワークは全状態フィードバックおよびオブザーバベースの出力フィードバック制御を両方サポートし、実装が可能である。