[論文レビュー] Controllability and reachability of singular linear discrete time systems

Charalambos P. Kontzalis, Grigoris I. Kalogeropoulos|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2014

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 22被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、特異線形離散時間システムにおける可制御性と到達可能性を分析するための行列ペンシル法を開発し、ワイエルシュトラス標準形を用いてシステムを有限固有構造部と無限固有構造部に分解する。主な貢献は、変換された部分システムのランク条件に基づく可制御性の必要十分条件を確立することであり、これによりゼロ初期状態および非ゼロ初期状態からの到達可能集合の明示的特徴付けが可能になる。応用としては分数階差分システムや経済学、人口動態、物理学における実用的モデルが含まれる。

ABSTRACT

The main objective of this article is to develop a matrix pencil approach for the study of the controllability and reachability of a class of linear singular discrete time systems. The description equation of a practical system may be established through selection of the proper state variables. Time domain analysis is the method of analyzing the system based on this description equation, through which we may gain a fair understanding of the system's structural features as well as its internal properties. Using time domain analysis, this article studies the fundamentals in system theory such as reachability and controllability.

研究の動機と目的

• 行列ペンシル理論を用いて、特異線形離散時間システムにおける可制御性と到達可能性を体系的に分析するフレームワークを構築すること。
• 状態行列 F が特異（det F = 0）である特異システムに、標準線形システム理論ではカバーされない可制御性の既存結果を拡張すること。
• ゼロ初期条件からの到達可能集合と固定終端条件からの到達可能集合の明示的特徴付けを提供すること、システム構造への依存関係を含むこと。
• ワイエルシュトラス標準形から導かれる部分システムのランク条件に基づき、可制御性の必要十分条件を確立すること。
• 得られた結果を分数階ナブラ差分方程式や経済学、人口動態、物理学における他の差分方程式モデルに応用可能とする。

提案手法

• 非特異変換 P および Q を用いて、特異システム $FX_{k+1} = GX_k + BV_k$ をワイエルシュトラス標準形に分解し、ブロック対角構造を導出する。
• システムを二つの独立した部分システムに変換する：有限ダイナミクス部分システム $Y^p_{k+1} = J_p Y^p_k + B_p V_k$ とインパルス的ダイナミクス部分システム $H_q Y^q_{k+1} = Y^q_k + B_q V_k$。
• 明示的な状態応答式を導出する：$Y^p_k = J_p^k Y^p_0 + \sum_{i=0}^{k-1} J_p^{k-i-1} B_p V_i$ および $Y^q_k = -\sum_{i=0}^{q_*-1} H_q^i B_q V_{k+i}$（$k \leq M$ に対して）。
• ゼロ初期状態からの到達可能集合を、変換された座標における $B_p$ および $B_q$ から構成される可制御行列の像として定義する。
• 入力から状態への写像を表す行列 $T = \text{diag}\left( [B_p, J_p B_p, \dots, J_p^{i-1} B_p], [B_q, H_q B_q, \dots, H_q^{j-1} B_q] \right)$ を用いる。
• 行列 $T$ のフルローランクを用いて可制御性を確立し、必要十分条件を導出する：$\text{rank}\left[ B_p, J_p B_p, \dots, J_p^{i-1} B_p \right] = p$ および $\text{rank}\left[ B_q, H_q B_q, \dots, H_q^{j-1} B_q \right] = q$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異状態行列を有する特異線形離散時間システムにおける可制御性の必要十分条件は何か？
• RQ2 ゼロ初期状態からの到達可能集合は、システムパラメータと入力系列の観点からどのように明示的に特徴付けられるか？
• RQ3 固定終端状態がある場合、到達可能集合はどのように依存するのか？特にインパルス的ダイナミクスが存在する場合の構造的形態は何か？
• RQ4 ワイエルシュトラス標準形を用いて、システムの有限固有構造部と無限固有構造部をどのように分離・解析できるか？
• RQ5 導出された条件は、どのように分数階ナブラ差分方程式系に拡張可能か？

主な発見

• 全システムの可制御性は、有限部分システムと無限部分システムの両方の可制御性の組み合わせに等しく、各部分システムの可制御行列のランクがその次元に等しいという条件を満たす必要がある。
• ゼロ初期状態からの到達可能集合は、可制御行列 $T$ の像として与えられ、入力系列 $V$ を用いて $Y_k = TV$ によって到達可能な状態に写像される。
• 固定終端状態 $Y^q_M$ に対する初期到達可能集合 $\Re(Y^q_M)$ は、$M_{p1} \oplus \left\{ H_q^{M-k} Y^q_M - \sum_{i=0}^{M-k-1} H_q^i B_q V_{k+i} \right\} \cup \{ Y^q_M \}$ で与えられ、将来の入力に依存することが示される。
• 時刻 $k$ の状態は、過去の入力と初期状態に加え、将来の入力と終端状態にも依存する。特に $H_q$ の構造により、$Y^q$ 部分系において顕著に現れる。
• システムが可制御であるための必要十分条件は、$\text{rank}\left[ B_p, J_p B_p, \dots, J_p^{i-1} B_p \right] = p$ および $\text{rank}\left[ B_q, H_q B_q, \dots, H_q^{j-1} B_q \right] = q$ が成り立つことであり、これにより有限および無限ダイナミクスの両方が完全に制御可能となる。
• 例により、固定終端状態 $Y^q_M$ からの到達可能集合が $H_q^{M-k} Y^q_M$ と将来の入力の影響を含むことが示され、導出された公式を用いて明示的に計算可能であることが確認された。