[論文レビュー] Controllability of linear systems on Lie groups with finite semisimple center

Adriano Da Silva, Víctor Ayala|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2016

advanced mathematical theories参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限半単純中心をもつ連結リー群上の線形制御系の可制御性の十分条件を確立する。ドリフト微分作用素𝒟が純虚数固有値（実部がゼロ）のみをもつ場合、かつ恒等元からの到達可能集合が空でない内部をもつならば、システムは可制御である。この結果は、可解群およびノルム群に対する先行研究を拡張し、回転する平面上を転がる球体のような物理系に適用可能である。

ABSTRACT

In this paper we extend the results on controllability of linear systems obtained in "Controllability of linear systems on solvable Lie groups", from solvable Lie groups to Lie groups with finite semisimple center.

研究の動機と目的

• 可解群およびノルム群の範囲を超えて、一般のリー群上の線形系の可制御性結果を拡張すること。
• 一般のリー群上での線形系では可制御性がまれであり、非局所的であるという課題に対処すること。
• 群が有限半単純中心をもつ場合に可制御性が成立する代数的条件を同定すること。
• 回転する平面上を転がる球体のような物理系に適用可能な枠組みを提供すること。
• ad-ランク条件および到達可能集合の解析を、より広いクラスのリー群へ一般化すること。

提案手法

• リー代数𝔤をもつ連結リー群G上の線形系を分析し、𝔤-微分作用素𝒟によって誘導される線形ベクトル場𝒳を用いる。
• 𝒟の一般固有空間への𝔤の分解に着目し、特に実部がゼロの固有値に対応する一般固有空間𝔤⁰に焦点を当てる。
• Gが有限半単純中心をもつという条件を適用し、部分群G⁰ = ⟨exp(𝔤⁰)⟩が到達可能集合𝒜に含まれることを保証する。
• ad-ランク条件および到達可能集合の開性（あるτ₀ > 0に対してe ∈ int𝒜ₜ₀）を、主要な構造的仮定として用いる。
• 制御集合および半群構造の理論を適用し、𝒜が半群であるとき（𝒜 = Gのとき）にのみ成り立つ[6]の結果を活用する。
• 𝒟のすべての固有値が実部がゼロであるとき、𝔤⁰上での力学系は中立的となり、可制御性が可能になることを利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限半単純中心をもつ連結リー群上の線形制御系が可制御となる条件は何か？
• RQ2 微分作用素𝒟の固有値スペクトルがシステムの可制御性にどのように影響するか？
• RQ3 可解群に対する可制御性結果を、有限半単純中心をもつ非可解群へ拡張可能か？
• RQ4 到達可能集合の内部（e ∈ int𝒜ₜ₀）がグローバル可制御性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 回転する平面上を転がる球体は、G = ℝ² × SO(3) 上の線形系としてどのようにモデル化され、制御可能か？

主な発見

• リー群Gが有限半単純中心をもち、ドリフト微分作用素𝒟が実部がゼロの固有値のみをもつ場合、あるτ₀ > 0に対してe ∈ int𝒜ₜ₀が成り立つ限り、システムは可制御である。
• 実部がゼロの固有値に対応する一般固有空間𝔤⁰から生成される部分群G⁰ = ⟨exp(𝔤⁰)⟩は、到達可能集合𝒜に含まれる。
• この結果は、同じスペクトル的および開性条件が可制御性を示すことが知られている可解リー群に対する先行研究を一般化する。
• 回転する平面上を転がる球体は、G = ℝ² × SO(3) 上の𝔰𝔬(3)-同次線形系としてモデル化され、スペクトル条件および有限半単純中心の性質により可制御性が成立する。
• 論文の式(6)は、𝒟の固有値が{0, ±ωi}であり、ad-ランク条件を満たし、Gが有限半単純中心をもつため、可制御である。
• 𝒟 = ad(Y)で、Zに制御を施すSL(2,ℝ)上の例では、Spec(𝒟) = {0}のとき、ad-ランク条件およびスペクトル条件を満たすため、可制御性が成立する。