[論文レビュー] Controlled Lagrangians and Stabilization of Euler--Poincar\'e Mechanical Systems with Broken Symmetry II: Potential Shaping

César Contreras, Tomoki Ohsawa|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2021

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、重力や浮力などの外部力によって対称性が破れたSE(3)などの半直積リー群上でのEuler–Poincaré力学系に対するポテンシャル形状制御フレームワークを、表現と運搬パラメータを用いて導出し、一致条件を導出する。既存の重いトップや水中車両に関する研究を一般化し、安定化設計を簡素化する統一的で表現に基づくアプローチを提供する。既知の結果を再現するとともに、複雑な制御問題に対してより簡潔な定式化を可能にする。

ABSTRACT

We apply the method of controlled Lagrangians by potential shaping to Euler--Poincar\'e mechanical systems with broken symmetry. We assume that the configuration space is a general semidirect product Lie group $\mathsf{G} \ltimes V$ with a particular interest in those systems whose configuration space is the special Euclidean group $\mathsf{SE}(3) = \mathsf{SO}(3) \ltimes \mathbb{R}^{3}$. The key idea behind the work is the use of representations of $\mathsf{G} \ltimes V$ and their associated advected parameters. Specifically, we derive matching conditions for the modified potential exploiting the representations and advected parameters. Our motivating examples are a heavy top spinning on a movable base and an underwater vehicle with non-coincident centers of gravity and buoyancy. We consider a few different control problems for these systems, and show that our results give a general framework that reproduces our previous work on the former example and also those of Leonard on the latter. Also, in one of the latter cases, we demonstrate the advantage of our representation-based approach by giving a simpler and more succinct formulation of the problem.

研究の動機と目的

• 外部力（重力や浮力など）によって完全な対称性が破れた場合の、半直積リー群（SE(3)など）上での力学系の安定化を扱う。
• 運搬パラメータを有するEuler–Poincaré系に制御ラグランジアン法を拡張し、特にポテンシャル形状に焦点を当てる。
• 重心と浮力中心が一致しない水中車両や、可動基盤上の重いトップといった系の既存の制御則を統一的かつ一般化する。
• 表現理論と運動量写像が、ポテンシャル形状における一致条件を導出する体系的枠組みを提供することを示す。
• 表現を介して追加の運搬パラメータを導入することで、ドリフト防止や姿勢制御といった複雑な制御目的に対するより柔軟で簡素化された制御設計が可能になることの実証。

提案手法

• 配置空間が S = G ⋊ V である半直積リー群 G ⋊ V 上の力学系を、運搬パラメータを含むEuler–Poincaré方程式を用いて定式化する。対称性が破れる。
• リー群 S の表現と関連する運動量写像を用いて運搬パラメータを記述し、線形運動量や姿勢関連変数といった物理量を符号化する。
• Euler–Poincaré方程式の構造を保ちつつ、s × X* 上の系のポテンシャルエネルギーを変更することでポテンシャル形状を適用する。
• 運搬パラメータを定義する表現に関連する運動量写像を等置することで、元の系と制御系の間の一致条件を導出する。
• 2つの制御設定を検討する：(i) 部分表現による運搬パラメータの削減による系の簡略化、および (ii) 操作的目標を追跡するための新たな運搬パラメータの導入。
• 拡張された双対空間 (s × X*) 上のLie–Poisson括弧を用いてハミルトニアン形式を記述し、制御系の構造を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半直積リー群上での対称性が破れたEuler–Poincaré系に、ポテンシャル形状を体系的かつ一貫して適用する方法は何か？
• RQ2 群の表現とその関連運動量写像は、ポテンシャル形状の一致条件を導出する上で果たす役割は何か？
• RQ3 提案手法は、水中車両や可動基盤上の重いトップに対して、既知の制御則を再現し、より簡潔に定式化できるか？
• RQ4 新たな表現を介して追加の運搬パラメータを導入することで、ドリフト防止といった複雑な制御目的のための制御設計はどのように改善されるか？
• RQ5 制御ラグランジアンの構造と得られる平衡点の安定性の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 本稿では、半直積群の表現に関連する運動量写像を用いて、ポテンシャル形状の明示的一致条件を導出する。これにより、体系的な制御設計が可能になる。
• 本手法は、Leonard (2000) の水中車両の制御則を再現し、姿勢安定化とドリフト防止を含むが、元の定式化よりも簡潔である。
• 可動基盤上の重いトップに対しては、先行研究[13]のポテンシャル形状を回復し、フレームワークの一貫性と妥当性を確認した。
• 新たな表現を介して追加の運搬パラメータを導入することで、水中車両のドリフト防止問題の定式化がより簡潔かつ構造的に行えるようになった。
• se(3) × (R3 × (R4 × R4)))* 上のLie–Poisson括弧が導出され、||Γ||2、||∆i||2、Γ · ∆i といったCasimir関数が支持されることを示した。これらは安定性解析において重要である。
• 本フレームワークは、表現に基づくモデリングが、姿勢制御やドリフト抑制といった多様な制御目的を、一つの理論的枠組み内で統一的に扱えることを示した。