[論文レビュー] Convergence analysis of the Böl-Reese discrete model for rubber

Roberto Alicandro, Marco Cicalese+1 more|ArXiv.org|Aug 10, 2007

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、メッシュサイズ $h \to 0$ の際に、ゴムのための Böl-Reese 離散有限要素モデルの収束を $\Gamma$-収束を用いて分析する。離散エネルギー系が連続的で、フレーム不変かつ擬凸なエネルギー密度に漸近的に収束することを確立し、等方性は確率的かつ回転不変なネットワーク仮定のもとでのみ保証される。このモデルは連続極限におけるゴム状材料の有限要素近似を厳密に裏付けている。

ABSTRACT

In a recent work, Böl and Reese have introduced a discrete model for polymer networks by means of a finite element modeling. They have also provided a comparison with real experiments. A key parameter of their model is the size h of the finite element mesh, that is meant to be small in practice. The aim of the present work is to study the asymptotic behaviour (and the convergence of the finite element method) when the meshsize goes to zero. In particular, we address the properties satisfied by the model at the limit, depending on the properties of the mesh.

研究の動機と目的

• メッシュサイズ $h$ が 0 に近づく際の Böl-Reese 離散有限要素モデルの漸近的挙動を厳密に分析すること。
• 離散エネルギー系が連続的で物理的に意味のある連続体モデルに収束する条件を特定すること。
• 極限エネルギー密度が、特に基礎となるメッシュまたはネットワーク構造と関連して、等方性をどのように引き継ぐかを同定すること。
• 離散最小化子と下限の収束を $\Gamma$-収束を用いて証明することで、Böl-Reese モデルで用いられる有限要素法を正当化すること。

提案手法

• 研究は、異なるメッシュ仮定の下で、離散エネルギー関数 $E_h(v_h)$ の $h \to 0$ における極限を $\Gamma$-収束を用いて分析する。
• 離散エネルギー $E_h(v_h)$ は、ポリマー鎖のペアポテンシャルエネルギーと、ファンデルワールス力のモデル化に用いる体積保存項 $W_{\text{vol}}$ に分解される。
• 周期的ケースでは、1つの周期的セルにおける均質化を用いて極限エネルギーが導出され、非等方的挙動が示される。
• 確率的ケースでは、極限における等方性を保証するために、エルゴード的で、並進不変かつ回転不変な確率的ネットワークを仮定する。
• 極限エネルギー密度 $W_{\text{hom}}(\xi)$ は、局所的変形に関する下限と確率空間上での平均化を含む、漸近的均質化公式によって定義される。
• 確率的仮定のもとで、$W^{1,p}(\Omega)$ 内での最小化子 $u_h^\omega$ が $u_{\text{hom}}$ に弱収束することが確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メッシュサイズ $h$ が 0 に近づく際、離散 Böl-Reese モデルは明確に定義された連続体モデルに収束するか？
• RQ2 極限エネルギー密度は、離散モデルからどのような性質を引き継ぐのか、特にフレーム不変性と等方性に関して。
• RQ3 周期的構造と確率的構造の異なるメッシュ構造が、極限エネルギーの等方性にどのように影響するか？
• RQ4 Böl-Reese モデルで用いられる有限要素法は、$\Gamma$-収束を用いて厳密に正当化できるか？
• RQ5 どのような確率的仮定のもとで、極限エネルギーが等方的になるか？

主な発見

• 適切な仮定のもとで、離散エネルギー $E_h(v_h)$ は $h \to 0$ の際に連続エネルギー関数 $E_{\text{hom}}(v) = \int_\Omega W_{\text{hom}}(\nabla v)\,dx$ に $\Gamma$-収束する。
• 極限エネルギー密度 $W_{\text{hom}}$ はフレーム不変であり、$p>1$ のオーダーの成長条件を満たしており、物理的整合性が保証される。
• 周期的ケースでは、変形応答における方向依存の剛性差が示されるため、極限エネルギーは等方的でない。
• エルゴード的で、並進不変かつ回転不変なネットワークを仮定する確率的ケースでは、極限エネルギー $W_{\text{hom}}$ は等方的である。
• 離散問題の最小化子は、$W^{1,p}(\Omega)$ 内で連続問題の最小化子に弱収束する。
• 極限エネルギー密度は、境界近傍で $v(x_i) = \xi \cdot x_i $ を満たす局所的変形に関する下限をとった積分として明示的に与えられる：$W_{\text{hom}}(\xi) = \lim_{h\to 0} \int_\Xi \inf \{ E_h^\omega(v_h^\omega) \} \, dP(\omega) $。