[논문 리뷰] Convergence in Density of Splitting AVF Scheme for Stochastic Langevin Equation

Jianbo Cui, Jialin Hong외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비글로벌 모노톤 계수를 가진 확률적 랑주반 방정식에 대해 분할 평균 벡터장(AVF) 스킴의 조밀도 수렴을 확립한다. 말리아빈 미적분을 활용하여 수치해의 밀도 존재성과 해석성을 증명하고, 이 스킴의 최적 강한 수렴률인 1차(O(h))와 일치하는 조밀도 수렴 속도를 보여준다.

ABSTRACT

In this article, we study the density function of the numerical solution of the splitting averaged vector field (AVF) scheme for the stochastic Langevin equation. To deal with the non-globally monotone coefficient in the considered equation, we first present the exponential integrability properties of the exact and numerical solutions. Then we show the existence and smoothness of the density function of the numerical solution by proving its uniform non-degeneracy in Malliavin sense. In order to analyze the approximate error between the density function of the exact solution and that of the numerical solution, we derive the optimal strong convergence rate in every Malliavin--Sobolev norm of the numerical scheme via Malliavin calculus. Combining the approximation result of Donsker's delta function and the smoothness of the density functions, we prove that the convergence rate in density coincides with the optimal strong convergence rate of the numerical scheme.

연구 동기 및 목표

• 초선형 성장 계수와 비퇴화된 소음을 가진 확률적 랑주반 방정식에 적용된 수치해법의 조밀도 수렴에 대한 이론적 결과 부족 문제를 해결하기 위해.
• 분할 AVF 스킴의 수치해가 정확한 해의 밀도 함수의 매끄러움을 계승하는지 조사하기 위해.
• 비글로벌 모노톤 계수 조건 하에서 정확한 해와 수치해의 밀도 함수 간의 수렴 속도를 확립하기 위해.
• 복잡한 비선형성을 가진 SDE의 수치해법에서 강한 수렴과 조밀도 수렴 간 격차를 메우기 위해.

제안 방법

• 비글로벌 모노톤 계수를 다루기 위해 정확한 해와 수치해의 지수적 적분 가능성 성질을 도출한다.
• 말리아빈 미적분을 적용하여 수치해의 말리아빈 공분산 행렬의 일관된 비퇴화성을 증명하고, 밀도의 존재성과 해석성을 확보한다.
• 말리아빈 미적분 기법을 사용하여 매끄럽지 않은 말리아빈-소볼레프 노름에서 최적의 강한 수렴 속도를 확립한다.
• 돈스커의 델타 함수 근사화를 활용하여 조밀도 수렴을 강한 수렴 속도와 연결한다.
• 수치해의 말리아빈 공분산 행렬의 최소 고유값이 0으로부터 일관되게 떨어져 있음을 증명하여, 일관된 비퇴화성을 확보한다.
• 말리아빈-소볼레프 공간에서 수치해의 정규성 추정과 공분산 행렬의 역행렬에 대한 모멘트 유계를 조합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비글로벌 모노톤 계수를 가진 확률적 랑주반 방정식에 대한 분할 AVF 스킴이 잘 정의된 밀도 함수를 갖는 수치해를 생성하는가?
• RQ2 헤르만더 유형 조건 하에서 수치해의 밀도가 정확한 해의 밀도의 매끄러움을 계승하는가?
• RQ3 정확한 해와 수치해의 밀도 함수 간의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 조밀도 수렴이 스킴의 최적 강한 수렴 속도와 일치함을 보일 수 있는가?
• RQ5 초선형 성장이 존재하는 상황에서 지수적 적분 가능성과 말리아빈 정규성은 어떻게 조밀도 수렴을 증명하는 데 기여하는가?

주요 결과

• 수치해의 말리아빈 공분산 행렬의 일관된 비퇴화성 덕분에 분할 AVF 스킴의 수치해는 매끄러운 밀도 함수를 갖는다.
• 말리아빈 공분산 행렬의 역행렬은 모든 차수의 모멘트를 가지며, 이는 밀도가 L^∞−에서 유계이고 매끄럽다는 것을 보장한다.
• 정확한 해와 수치해의 밀도 함수 간의 조밀도 수렴 속도가 O(h)임을 증명하였으며, 이는 스킴의 최적 강한 수렴 속도와 일치한다.
• 비글로벌 모노톤 계수 조건 하에서도 결과가 성립하여 이전에 전역 리프시츠 또는 유계 계수에 국한된 결과를 확장한다.
• 수치 실험을 통해 O(h)의 평균제곱 수렴 속도를 확인하였으며, 이는 이론적 결과를 검증한다.
• 분석은 지수적 모멘트 추정, 말리아빈 미적분, 돈스커의 델타 함수 근사화의 새로운 조합에 기반한다.