[論文レビュー] Convergence of a Kähler-Ricci flow

Nataša Šešum|ArXiv.org|Feb 14, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、一様に有界なリッチ曲率をもつコンpakト・カーラー多様体上のカーラー・リッチフローの長時間収束を確立し、時間のスケーリングを施した後、特異的集合（余次元4以上）を除いて滑らかに、カーラー・リッチフローの極限解へ収束することを示している。複素次元2では、曲率の仮定なしに、有限個の孤立した特異点を除いて、フローはカーラー・リッチソリトンへ収束する。

ABSTRACT

In this paper we prove that for a given Kähler-Ricci flow with uniformly bounded Ricci curvatures in an arbitrary dimension, for every sequence of times $t_i$ converging to infinity, there exists a subsequence such that $(M,g(t_i + t)) o (Y,\bar{g}(t))$ and the convergence is smooth outside a singular set (which is a set of codimension at least 4) to a solution of a flow. We also prove that in the case of complex dimension 2, without any curvature assumptions we can find a subsequence of times such that we have a convergence to a Kähler-Ricci soliton, away from finitely many isolated singularities.

研究の動機と目的

• 一様に有界なリッチ曲率をもつコンパクト・カーラー多様体上でのカーラー・リッチフローの長時間挙動を理解すること。
• フローが無限時間にわたって進化する際の極限対象の性質を特定すること。
• 曲率の仮定なしに、複素次元2においてカーラー・リッチフローがカーラー・リッチソリトンへ収束することを確立すること。
• 極限における特異的集合の構造とその余次元を分析すること。
• 極限フローが余次元4以上の特異的集合を除いて、カーラー・リッチフロー方程式を満たすことを証明すること。

提案手法

• 局所的スケールの小さな領域における曲率挙動を制御するために、ペレラの擬局所定理を用いる。
• 有界リッチ曲率下でのフローのグロモフ＝ハウスドルフ極限を分析するために、チーリング＝コールディング＝ティアンの正則性定理を適用する。
• ペレラ汎関数 $\mathcal{W}$ 及びその単調性を用いて、ポテンシャル関数 $u(t)$ の時間発展を制御する。
• 極限空間の $C^{1,\alpha}$ 正則性と体積の非崩壊性を用いて、極限計量への収束を保証する。
• 時間列 $t_i \to \infty$ の上での対角線的補間法を適用し、部分列が極限フローへ収束することを抽出する。
• 極限計量が $\bar{u}_{ij}$ および $\bar{u}_{\bar{i}\bar{j}}$ の消滅により、カーラー・リッチソリトン方程式を満たすことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間 $t \to \infty$ のとき、カーラー・リッチフローが極限計量へ収束する条件は何か？
• RQ2 有界リッチ曲率下でのカーラー・リッチフローの極限における特異的集合の構造は何か？
• RQ3 曲率の仮定なしに、複素次元2におけるカーラー・リッチフローがカーラー・リッチソリトンへ収束できるか？
• RQ4 ペレラ $\mathcal{W}$-汎関数はフローに沿ってどのように振る舞い、極限に何を意味するか？
• RQ5 極限空間の正則性は何か？また、元の多様体の幾何とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の列 $t_i \to \infty$ に対して、部分列が存在し、$(M, g(t_i + t))$ は余次元4以上の特異的集合を除いて、カーラー・リッチフロー方程式を満たす極限計量 $\bar{g}(t)$ へ滑らかに収束する。
• 極限フロー $\bar{g}(t)$ は、極限空間 $Y$ 上のカーラー・リッチフローの解であり、$C^{1,\alpha}$-正則部をもつコンパクト・オービフォールドである。
• 複素次元2では、曲率の仮定なしに、有限個の孤立特異点を除いて、フローはカーラー・リッチソリトンへ収束する。
• 極限ポテンシャル関数 $\bar{u}(t)$ は $\frac{d}{dt}\bar{u} = |\nabla \bar{u}|^2$ を満たし、$\bar{u}_{ij}$ および $\bar{u}_{\bar{i}\bar{j}}$ の消滅により、極限計量がカーラー・リッチソリトンであることが示される。
• 定数 $a = -(2\pi)^{-n}\int_Y \bar{u} e^{-\bar{u}} dV_s$ は時間に依存せず、ソリトン条件が時間に一様に成り立つことを保証する。
• 収束は $Y \setminus \{p\} \times [0, \infty)$ のコンパクト部分集合上で一様であり、極限フローはすべての $t \geq 0$ に対してカーラー・リッチソリトンである。