[논문 리뷰] Convergence of interaction-driven evolutions of dislocations with Wasserstein dissipation and slip-plane confinement

Maria Giovanna Mora, Mark A. Peletier외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 15.

Composite Material Mechanics참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 n개의 평행한 모서리 불순물이 단일 슬립 평면에 고정되어 있을 때, n → ∞일 때의 준정적, 비속도 의존적 진화의 엄밀한 수렴성을 보여준다. 이는 슬립 평면에 국한된 수정된 워셔스타인 거리와 재정규화된 탄성 에너지의 Γ수렴을 통해 이루어진다. 핵심 결과는 이산 불순물 역학이 탄성력과 슬립 평면에 제약된 소산력의 균형에 의해 지배되는 연속체 진화로 수렴한다는 것이다.

ABSTRACT

We consider systems of $n$ parallel edge dislocations in a single slip system, represented by points in a two-dimensional domain; the elastic medium is modelled as a continuum. We formulate the energy of this system in terms of the empirical measure of the dislocations, and prove several convergence results in the limit $n o\infty$. The main aim of the paper is to study the convergence of the evolution of the empirical measure as $n o\infty$. We consider rate-independent, quasi-static evolutions, in which the motion of the dislocations is restricted to the same slip plane. This leads to a formulation of the quasi-static evolution problem in terms of a modified Wasserstein distance, which is only finite when the transport plan is slip-plane-confined. Since the focus is on interaction between dislocations, we renormalize the elastic energy to remove the potentially large self- or core energy. We prove Gamma-convergence of this renormalized energy, and we construct joint recovery sequences for which both the energies and the modified distances converge. With this augmented Gamma-convergence we prove the convergence of the quasi-static evolutions as $n o\infty$.

연구 동기 및 목표

• . 준정적, 비속도 의존적 진화의 불순물이 단일 슬립 평면에 고정된 경우에 대해 연속체 극한을 엄밀히 유도한다.
• . 슬립 평면에 제약된 운동을 보장하는, 슬립 평면에 국한된 운동 계획에 대해서만 유한한 값을 갖는 수정된 워셔스타인 거리를 제안한다.
• . 발산하는 자기에너지 기여를 제거하기 위해 재정규화된 탄성 에너지 함수를 제안하고, 이 함수의 Γ수렴을 증명한다.
• . 에너지와 소산의 동시 수렴을 보장하는 공동 복구 수열을 구성하여 전체 진화의 수렴을 가능하게 한다.
• . 이산 불순물 진화가 탄성력과 슬립 평면에 제약된 소산력의 균형에 의해 지배되는 연속체 진화로 수렴함을 확립한다.

제안 방법

• . 각 불순물 n개의 시스템을 단위 질량을 가진 측도 µ ∈ P(Ω)로 표현한다.
• . 불순물 핵을 둘러싼 순환 적분을 통해 비일관성 조건을 만족하는 변형률 장 β ∈ L²(Ω; R²×²)을 이용해 탄성 에너지를 정의한다.
• . 각 불순물 주변의 작은 구역 Bεn(zi)을 제외하여 핵 제거 정규화를 도입함으로써 도메인 Ωn(µ)을 구성한다.
• . 상호작용 에너지에 집중하기 위해 O(n|log εn|) 크기의 자기에너지 기여를 제거하기 위해 에너지를 재정규화한다.
• . 슬립 평면에 국한된 운동 계획에 대해서만 유한한 값을 갖는 수정된 워셔스타인 거리 D(µ, ν)를 도입하여 불순물 운동의 물리적 제약 조건을 반영한다.
• . 재정규화된 에너지와 수정된 소산 거리의 공동 Γ수렴을 증명하기 위해, 에너지와 거리 양쪽에서 수렴하는 복구 수열을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . n개의 불순물의 준정적 진화가 n → ∞일 때 잘 정의된 연속체 극한으로 수렴하는가?
• RQ2 . 슬립 평면에 제약된 운동을 보장하고 물리적으로 허용 가능한 진화에 대해 유한한 소산을 갖는 수정된 워셔스타인 거리를 구성할 수 있는가?
• RQ3 . 발산하는 자기에너지 기여가 존재하더라도, 재정규화된 탄성 에너지가 다수 불순물 극한에서 Γ수렴하는가?
• RQ4 . 에너지와 수정된 소산 거리가 동시에 수렴하도록 보장하는 공동 복구 수열을 구성할 수 있는가?
• RQ5 . 결과로 얻어진 연속체 진화는 탄성 에너지의 1차 변분과 슬립 평면에 제약된 소산력 사이의 균형을 만족하는가?

주요 결과

• . 재정규화된 탄성 에너지 Fn(µ)는 자기에너지 기여를 제거한 상호작용 에너지를 포함하는 극한 에너지 함수로 Γ수렴한다.
• . 슬립 평면에 제약된 운동 계획에 대해서만 유한한 값을 갖는 수정된 워셔스타인 거리는 준정적 진화에 적합한 소산 거리로 밝혀졌다.
• . 재정규화된 에너지와 수정된 소산 거리의 동시 수렴을 보장하는 공동 복구 수열이 존재한다.
• . 이산 준정적 진화는 탄성 에너지의 1차 변분과 슬립 평면에 제약된 소산력의 균형에 의해 지배되는 연속체 진화로 수렴한다.
• . 극한 진화는 속도 장 φ(t, x)가 에너지의 1차 변분의 음의 기울기 방향과 일치하며, 거의 확실히 모든 곳에서 |∂x1 δF/δµ| ≤ 1을 만족한다.
• . εn → 0, rn → 0, εn/rn³ → 0, 그리고 rnn → 0 인 스케일링 가정 하에 수렴이 성립하며, 이는 핵 효과 제거와 불순물 간의 분리 조건을 보장한다.