[論文レビュー] Convergence of MCMC and Loopy BP in the Tree Uniqueness Region for the Hard-Core Model

Charilaos Efthymiou, Thomas P. Hayes+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2016

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、最大次数 $ \Delta \geq \Delta_0 $ で図の周囲長が 7 以上のグラフにおいて、$ \lambda < \lambda_c(\Delta) $ のとき、硬核モデルの分配関数に対して $ O^*(n^2) $ の実行時間を持つFPRASを確立する。Glauberダイナミクスの迅速な混合を $ O(n\log n) $ ステップで証明し、BP作用素の主固有ベクトルを用いた新しい収縮補正により、ループ付きBPがギブス分布に収束することを示す。

ABSTRACT

We study the hard-core model defined on independent sets of an input graph where the independent sets are weighted by a parameter $λ&gt;0$. For constant $Δ$, previous work of Weitz (2006) established an FPTAS for the partition function for graphs of maximum degree $Δ$ when $λ&lt; λ_c(Δ)$. The threshold $λ_c(Δ)$ is the critical point for the phase transition for uniqueness/non-uniqueness on the infinite $Δ$-regular trees. Sly (2010) showed that there is no FPRAS, unless NP=RP, when $λ&gt;λ_c(Δ)$. The running time of Weitz's algorithm is exponential in $\log(Δ)$. Here we present an FPRAS for the partition function whose running time is $O^*(n^2)$. We analyze the simple single-site Glauber dynamics for sampling from the associated Gibbs distribution. We prove there exists a constant $Δ_0$ such that for all graphs with maximum degree $Δ\geqΔ_0$ and girth $\geq 7$, the mixing time of the Glauber dynamics is $O(n\log(n))$ when $λ

研究の動機と目的

• 高周囲長かつ大きな最大次数を持つグラフにおける硬核モデルの分配関数の効率的近似アルゴリズムの開発。
• 特に $ \lambda < \lambda_c(\Delta) $ のとき、ツリー一意性領域におけるGlauberダイナミクスの高速混合の証明。
• BP作用素の主固有ベクトルを用いた新しい収縮補正により、ループ付きBPとギブス分布との間の厳密な関係を確立すること。
• Glauberダイナミクスが短いバーンイン期間の後に局所的にBP固定点に収束することを示すこと。
• 定数でない $ \Delta $ に対しても効率的アルゴリズムの適用範囲を拡張し、$ \Delta $ が $ n $ と共に増大する場合をカバーすること。

提案手法

• BP作用素の主固有ベクトルに基づく距離関数を設計し、マルコフ連鎖の状態間の収束を測定する。
• この距離が、BP固定点に近い状態のペアに対して期待値で収縮することを証明し、迅速な混合を保証する。
• 周囲長 $ \geq 7 $ のグラフにおける、ブロックされていない近傍の数のフラクチュエーションを制御するために、局所一様性の性質を用いる。
• Glauberダイナミクスを局所的にループ付きBPに近似することで、収束保証の転送を可能にする。
• $ \lambda < \lambda_c(\Delta) $ かつ周囲長 $ \geq 6 $ のとき、BP固定点がギブス分布に近い近似であることを確立する。
• ランダムな $ \Delta $-正則二部グラフにこの手法を適用し、$ \Delta \geq \Delta_0 $ のとき、高速混合が高確率で成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \Delta $ が $ n $ と共に増大する場合でも、$ n $ に対して多項式的依存を持つFPRASを硬核モデルに設計できるか？
• RQ2 周囲長が高く、$ \Delta \geq \Delta_0 $ であるグラフにおいて、Glauberダイナミクスが $ O(n\log n) $ ステップで混合するか？
• RQ3 ツリー一意性領域において、ループ付きBPがギブス分布に速やかに収束することが厳密に示せるか？
• RQ4 BP固定点に近い状態の連鎖において、Glauberダイナミクスの下で収縮する新しい距離関数が存在するか？
• RQ5 短いサイクルの影響は混合時間に及ぼすか？ また、緩いサイクル制約のもとで、周囲長の要件を緩和できるか？

主な発見

• 硬核モデルの分配関数に対するFPRASが、$ O^*(n^2) $ の実行時間で達成され、Weitzのアルゴリズムの $ \log \Delta $ に指数的依存するものより改善された。
• 最大次数 $ \Delta \geq \Delta_0 $、周囲長 $ \geq 7 $、$ \lambda < \lambda_c(\Delta) $ を満たすすべてのグラフにおいて、Glauberダイナミクスが $ O(n\log n) $ ステップで混合する。
• $ \lambda < \lambda_c(\Delta) $ かつ周囲長 $ \geq 6 $ のとき、Glauberダイナミクスの局所的収束がBP固定点に至ることにより、ループ付きBPはギブス分布に速やかに収束する。
• BP作用素の主固有ベクトルを用いることで、Glauberダイナミクスの迅速な混合を示す新しい収縮補正が可能になった。
• 短いサイクルが疎であるため、$ \Delta \geq \Delta_0 $ のとき、ランダムな $ \Delta $-正則二部グラフにおいても、混合時間のバウンドが高確率で成立する。
• 各頂点あたりの短いサイクル（長さ < 7）が高々 $ \ell $ 個であるようなグラフに対しても、$ \ell $ が有界で $ \Delta $ が十分に大きい限り、結果は拡張可能である。