[論文レビュー] Convergence of rank based degree-degree correlations in random directed networks

W.L.F. van der Hoorn, Nelli Litvak|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2014

Complex Network Analysis Techniques被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、スケールフリーな無向ランダムネットワークにおける次数同士の依存関係に対して、スピアーマンのρおよびケンドールのτの3つの順位ベースの相関係数の統計的一貫性を導入し、証明する。これらの係数は、有向配置モデルにおいて無限大のネットワークサイズ極限で0に収束することを示しており、非ランダムな次数相関を検出するための有効な帰無仮説モデルであることを裏付けている。

ABSTRACT

We introduce, and analyze, three measures for degree-degree dependencies, also called degree assortativity, in directed random graphs, based on Spearman's rho and Kendall's tau. We proof statistical consistency of these measures in general random graphs and show that the directed configuration model can serve as a null model for our degree-degree dependency measures. Based on these results we argue that the measures we introduce should be preferred over Pearson's correlation coefficients, when studying degree-degree dependencies, since the latter has several issues in the case of large networks with scale-free degree distributions.

研究の動機と目的

• 無限大の分散を示すスケールフリーな有向ネットワークにおいて、ピアソンの相関係数の統計的不一致を解消すること。
• 重い尾を持つ次数分布下でも、定義され、一貫性を持つ順位ベースの相関係数（スピアーマンのρ、ケンドールのτ）を構築すること。
• 有向配置モデルが、次数同士の依存関係の帰無仮説モデルとして有効であることを示すために、順位相関係数が大規模ネットワーク極限で0に収束することを証明すること。
• 現実世界の有向ネットワークにおける次数同士の依存関係の統計的有意性を評価する数学的に厳密なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 有向エッジの両端における整数値のインデグリーおよびアウトデグリーに基づき、スピアーマンのρおよびケンドールのτを出発とする3つの順位相関係数を定義する。
• エッジ両端における次数の経験的2変量分布の収束を仮定したもとで、順位相関推定量の一般的一貫性を証明する。
• 一般的一貫性定理を有向配置モデルに適用し、離散的次数分布を扱うために連続化技術（continuization）を用いる。
• 有向配置モデルの「繰り返し版」と「削除版」をそれぞれ分析し、順位相関係数がほとんど確実に0に収束することを示す。
• 分布関数の連続化（$\widetilde{X} = X + U$を用いて）や条件付き期待値を用いて、離散的および連続的順位統計量の関係を確立する。
• オーダー統計および一様間隔の結果を活用し、累積分布関数を用いて順位ベースの測度の極限期待値を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピアーマンのρやケンドールのτのような順位ベースの相関係数は、重い尾を持つ次数分布を示す有向ネットワークにおいて、次数同士の依存関係を統計的に一貫した推定量として使用できるか？
• RQ2 エッジ形成をランダム化する有向配置モデルは、大規模ネットワークの極限において、次数同士の依存関係を0に持つのか？
• RQ3 無限大の分散を持つ次数分布を示すネットワークにおいて、順位相関の統計的性質はピアソンの相関係数と比べてどのように異なるか？
• RQ4 現実世界の有向ネットワークにおいて、非ランダムな次数相関を検出するための帰無仮説モデルとして、有向配置モデルを用いることができるか？
• RQ5 有向配置モデルの「繰り返し版」と「削除版」の両方において、順位相関係数の極限的挙動はいかなるものか？

主な発見

• 提案された順位相関係数（スピアーマンのρおよびケンドールのτ）は、一般のランダム有向グラフにおける次数同士の依存関係を統計的に一貫した推定量として使用できる。
• 「繰り返し版」と「削除版」の両方の有向配置モデルにおいて、3つの順位相関係数すべてが、ネットワークサイズが無限大に近づくにつれてほとんど確実に0に収束する。
• 有限ネットワークでは負の次数相関が生じる可能性があるが、大規模ネットワーク極限ではその相関が消えることから、この収束は、次数分布の重さにかかわらず成立する。
• したがって、次数分布の分散が無限大であっても、有向配置モデルは順位ベースの次数依存関係測定の帰無仮説モデルとして有効である。
• ピアソンの相関係数はスケールフリー・ネットワークでは無限大の分散のため定義不可能であるのに対し、順位ベースの測度は依然として頑健で一貫性を持つことが確認された。
• 離散的分布の連続化を用いる数学的枠組みにより、弱い正則性条件のもとで、順位ベースの統計量が理論的極限に収束することが保証された。