[論文レビュー] Convergence of the Eilenberg-Moore spectral sequence for generalized cohomology theories

Tilman Bauer|ArXiv.org|Mar 26, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、基底空間が $p$-局所的有限ポストニコフ系で $(n+1)$ 階ホモトピー群が自明であるという特定のホモトピー的条件下で、一般化コホモロジー理論における $K(n)$-ベースのエイレンベルク＝モアスペクトル系列（EMSS）の収束を確立する。主な結果は、全空間およびファイバーが有限 CW 複体である場合、EMSS が $K(n)$-ホモロジーのホモトピー引き戻しに ind-一貫して収束することであり、これによりターゲットが有限 $K(n)_*$-加群であることが保証される。

ABSTRACT

We prove that the Morava-$K$-theory-based Eilenberg-Moore spectral sequence has good convergence properties whenever the base space is a $p$-local finite Postnikov system with vanishing $(n+1)$st homotopy group.

研究の動機と目的

• 非連結な一般化コホモロジー理論、特に $K(n)$-理論におけるエイレンベルク＝モアスペクトル系列の収束問題を解決すること。
• 古典的収束が失敗する場合に、EMSS が収束するための正確なホモトピー的条件を同定すること。
• $p$-局所的有限ポストニコフ系の文脈において、$K(n)$-ベースの EMSS のための強固な収束枠組み（ind-収束）を確立すること。
• 非連結な設定におけるスペクトル系列のターゲットと実際のファイバーの $K(n)$-ホモロジーの関係を明確にすること。

提案手法

• 基底空間 $B$ 上での二重側 cobar コンストラクションを用いて、$K(n)$-加群スペクトルの塔 $T^\bullet(E_1,E_2)$ を構成する。
• 有限サブ-CW 複体 $E_1$ および $E_2$ をインデックスとする、有向系としてのスペクトル系列として EMSS を分析し、ind-収束解析を可能にする。
• ind-収束の概念を適用し、比較写像 $K(n)_*F \to \pi_*T^\bullet$ が ind-プロアーベル群の圏において同型であることを示す。
• Ravenel-Wilson による $K_*(\underline{H}_*)$ の計算を用いて、$E^\infty$-頁を同定し、スペクトル系列のターゲットと一致させること。
• スティーナロード代数の双対および $p$-進桁展開を用いて、$K(n)$-ホモロジー類の構造とその永続性を分析する。
• 各総次数における有限フィルトレーションでの安定化を確認することで、$E^\infty$-頁との比較により収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非連結な一般化コホモロジー理論における $K(n)$-ベースのエイレンベルク＝モアスペクトル系列が、どのような条件下で収束するか？
• RQ2 単純接続された基底空間に対しても EMSS が収束しない場合があるのはなぜか、収束を妨げるホモトピー的障害は何か？
• RQ3 基底空間に有限性および $p$-局所性の条件を課すことで、非連結な設定において収束を回復できるか？
• RQ4 ファイバーの $K(n)$-ホモロジーの構造は、EMSS の $E^\infty$-頁とどのように関係しているか？
• RQ5 $K(n)$-ベースの EMSS における収束の正確な性質（例えば、プロ定数、ind-収束）は何か？また、古典的収束とはどのように異なるか？

主な発見

• 基底空間 $B$ が $p$-局所的有限ポストニコフ系で $\pi_{n+1}(B) = 0$ である限り、$K(n)$-ベースの EMSS は $K(n)_*F$ に ind-一貫して収束する。
• 有限 CW 複体 $E_1$ および $E_2$ の場合、スペクトル系列はプロ定数に収束し、$K(n)_*F$ が有限 $K(n)_*$-加群であることを示唆する。
• EMSS の $E^\infty$-頁は、Ravenel-Wilson による $K_*(\underline{H}_*)$ の計算と照合されることで、ファイバー $F$ の $K(n)$-ホモロジーと同型であることが確認された。
• 基底空間の $\pi_{n+1}(B) \neq 0$ の場合、EMSS は収束しない。これは、$K(\mathbb{Z}/2,2)$ 上のパスループファイブレーションの反例によって示された。
• スペクトル系列 $\operatorname{Cotor}^{K(n)_*(\widetilde{\underline{H}}_t)}_{**}(K(n)_*,K(n)_*)\Rightarrow K(n)_*(\underline{H}_{t-1})$ に対して、$t \neq n+1$ のときには $2p^n$-定数に収束するが、$t = n+1$ のときは収束しない。
• $K(n)_*F$ から塔 $T^\bullet$ の逆極限への比較写像は、ind-プロ圏において同型であり、ind-収束が確認された。