[論文レビュー] Convergence of the randomized Kaczmarz method for phase retrieval

Halyun Jeong, C. Si̇nan Güntürk|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2017

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ひとこと要約

本稿は、位相再構成におけるランダム化カツマルツ法の最初の厳密な収束保証を確立し、初期化が真の信号に近い場合、高確率でサイズ $ m acksimeq d $ のランダム測定系が、平均二乗誤差における指数的収束を保証することを示している。この手法は、ランダム化プロジェクションを用いて段階的に位相情報を適応させ、線形カツマルツ法と同等の性能を達成する。

ABSTRACT

The classical Kaczmarz iteration and its randomized variants are popular tools for fast inversion of linear overdetermined systems. This method extends naturally to the setting of the phase retrieval problem via substituting at each iteration the phase of any measurement of the available approximate solution for the unknown phase of the measurement of the true solution. Despite the simplicity of the method, rigorous convergence guarantees that are available for the classical linear setting have not been established so far for the phase retrieval setting. In this short note, we provide a convergence result for the randomized Kaczmarz method for phase retrieval in $\mathbb{R}^d$. We show that with high probability a random measurement system of size $m \asymp d$ will be admissible for this method in the sense that convergence in the mean square sense is guaranteed with any prescribed probability. The convergence is exponential and comparable to the linear setting.

研究の動機と目的

• ランダム化カツマルツ法が非線形位相再構成設定において理論的収束保証を確立すること。
• サイズ $ m \asymp d $ のランダム測定系が、通常この手法に適していることを示すこと。
• 初期化条件が緩い条件下でも、平均二乗誤差における指数的収束が高確率で達成可能であることを証明すること。
• 位相適応型カツマルツ法の実験的成功と理論的理解の間のギャップを埋めること。

提案手法

• 本手法は、現在の反復の測定の位相を真の位相の代わりに使用するランダム化カツマルツ更新を用いる。
• 期待誤差が反復ごとに減少するように保証するための決定的条件として、$\delta$-適応性と呼ばれる条件を導入する。初期相対誤差が $\delta$ 未満のとき、この条件が成立する。
• ランダムインデックス選択下での確率的収束挙動を分析するために、ドリフト解析と到達時間の上限を適用する。
• 単位球面 $\mathbb{S}^{d-1}$ 上から一様に抽出されたランダムベクトルの確率的バウンドを活用し、$\mathbb{E}[|z \cdot \phi|^2]$ および $\mathbb{E}[|z \cdot \phi|^4]$ のモーメント計算を行う。
• 反復全体を通して相対誤差が有界に保たれるようにする安定性事象 $\Sigma$ を定義する。
• 収束速度が指数的であることが示され、減衰上限として $\mathbb{E}[\mathrm{dist}^2(x,x_k) \mathbf{1}_\Sigma] \leq e^{-k/4d} \|z_0\|^2$ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相再構成におけるランダム化カツマルツ法は、ランダム測定系のもとで厳密に収束することが示せるか？
• RQ2 $ m \asymp d $ の範囲で、高確率での収束に必要な測定数の最小値 $m$ は何か？
• RQ3 初期誤差は収束にどのように影響するか？安定性を保証する初期化条件は何か？
• RQ4 位相適応型ランダム化カツマルツ法の収束速度は、線形ケースと比べてどの程度か？
• RQ5 測定系にどのような条件下で、期待誤差が反復ごとに減少することが保証されるか？

主な発見

• 絶対定数 $ C, c, \delta_0 $ を用いて $ m \geq Cd $ のとき、測定系 $ \Phi = (\phi_1, \dots, \phi_m) $ は確率 $ 1 - \exp(-cm) $ で $\delta$-適応性を有する。
• 初期相対誤差が $ \mathrm{dist}(x,x_0)/\|x\| \leq \delta_0 \varepsilon $ を満たす場合、安定性事象 $ \Sigma = \{ \mathrm{dist}(x,x_k)/\|x\| \leq \delta_0 \text{ for all } k \geq 1 \} $ は確率 $ 1 - \varepsilon^2 $ 以上で成立する。
• 事象 $ \Sigma $ 条件下で、期待二乗誤差は指数的に減少し、$ \mathbb{E}[\mathrm{dist}^2(x,x_k) \mathbf{1}_\Sigma] \leq e^{-k/4d} \|z_0\|^2 $ が成り立つ。
• 収束速度は線形カツマルツ法と同等であり、次元 $ d $ の逆数によって制御される指数的減衰を示す。
• 測定ベクトルが $ \mathbb{S}^{d-1} $ 上から一様に抽出された場合、この手法は収束を達成する。モーメント計算により、$ \mathbb{E}[|z \cdot \phi|^2] = \|z\|^2/d $ および $ \mathbb{E}[|z \cdot \phi|^4] = 3\|z\|^4/(d(d+2)) $ が得られる。
• 解析により、測定系が十分に豊かでランダムである限り、真の解に近い初期化のもとで位相不一致に対してロバストであることが確認された。