[論文レビュー] Convergence of type-symmetric and cut-balanced consensus seeking systems (extended version)

Julien M. Hendrickx, John N. Tsitsiklis|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2011

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 28被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、影響が相彼方的に比例するよう保証する一般化されたカットバランス条件の下で、連続時間のコンSENSUS指向システムの収束および一致条件を確立する。この条件の下で、システムは常に収束し、エージェントが同じ連結成分に属する場合に限り、同じ極限値に到達することが示される。本結果は、時変および内生的に決定されるネットワークへと拡張される。

ABSTRACT

We consider continuous-time consensus seeking systems whose time-dependent interactions are cut-balanced, in the following sense: if a group of agents influences the remaining ones, the former group is also influenced by the remaining ones by at least a proportional amount. Models involving symmetric interconnections and models in which a weighted average of the agent values is conserved are special cases. We prove that such systems always converge. We give a sufficient condition on the evolving interaction topology for the limit values of two agents to be the same. Conversely, we show that if our condition is not satisfied, then these limits are generically different. These results allow treating systems where the agent interactions are a priori unknown, e.g., random or determined endogenously by the agent values. We also derive corresponding results for discrete-time systems.

研究の動機と目的

• 時変で非対称な相互作用を有する連続時間コンセンサス指向システムにおける収束の十分条件を確立すること。
• エージェントが同じコンセンサス極限に到達する条件を、無限大相互作用リンクの構造に基づいて特徴づけること。
• 内生的に決定されるまたは確率的な相互作用トポロジーを有するシステムへの収束結果の拡張。
• エージェントが互いに比例する強さで相互に影響を与えるモデルの理論的基盤を提供すること。
• カットバランス条件の限界を検討し、連続体エージェントモデルへの拡張を検討すること。

提案手法

• カットバランス条件を導入：任意のエージェント集合に対して、その集合から補集合への影響が、逆方向の影響の一定割合以上であることを保証する。この割合は定数 $ K \geq 1 $ を用いて表される。
• 無限大相互作用グラフを定義し、エッジ $ (j,i) $ が $ \int_0^\infty a_{ij}(\tau)\,d\tau = \infty $ を満たす場合に存在するとする。このグラフの弱連結成分が強く連結であることを示す。
• $ m $ 個の最小エージェント値の線形結合に基づく、新しいリャプノフ的議論を用いる。この線形結合が非減少かつ有界であることを証明する。
• もし二つのエージェントが互いに無限大相互作用を持つが、異なる極限値に収束するならば、このような線形結合の総増加率は、正の下限値を超えるようになることを示す。
• 本手法を連続時間および離散時間システムに適用し、類似の収束および一貫性条件を導出する。
• エージェントの値に基づき、相互作用トポロジーが内生的にまたは確率的に変化するシステムへと結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時変で非対称な相互作用を有する連続時間コンセンサス指向システムが収束する条件は何か？
• RQ2 このようなシステムにおけるエージェントが同じコンセンサス極限に到達するのはいつか？ これは無限大相互作用の構造とどのように関係するか？
• RQ3 カットバランス条件は、内生的に決定されるまたは確率的な相互作用パターンを有するシステムにおいても収束を保証できるか？
• RQ4 カットバランス条件における比例定数 $ K $ が時間とともに無限大に発散する場合、何が起こるか？
• RQ5 有限エージェントシステムにおける収束結果は、連続体エージェントモデルへと拡張可能か？

主な発見

• カットバランス条件の下では、相互作用トポロジーにかかわらず、すべてのエージェントの値は有限極限に収束する。
• 二つのエージェントが同じ極限に収束するのは、かつそれが無限大相互作用グラフの同じ連結成分に属するときである。
• 無限大相互作用グラフにおいて異なる成分に属するエージェントは、有限時間内での相互作用積分が有限であると仮定すれば、一般に異なる極限値に到達する。
• カットバランス条件は対称的および平均値保存型システムを一般化し、影響が互いに比例する場合に常に満たされる。
• $ m $ 個の最小値の線形結合を分析する手法は、従来の二次形式やスパンノルムの収縮議論を避ける、新たな証明技法を提供する。
• カットバランス定数 $ K $ が時間とともに増大できる場合、結果は成立しなくなるため、この条件はタイトであることが示される。
• 連続体エージェントモデルへの直接的な拡張は不可能である。これは $ K > 1 $ の場合に適切な微分型リャプノフ関数を構築できないためである。