[論文レビュー] Convergence of uniform noncrossing partitions toward the Brownian triangulation

Jérémie Bettinelli|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、マーチャルのドリフトパスがブラウン運動の拡張に強い収束することを応用し、正n角形の均一非交差分割がハウスドルフ位相においてアルドウスのブラウン三角形分割に弱収束することの簡潔な証明を提供する。さらに、ドリフトパス符号化に基づく再帰的アルゴリズムを用いて、非交差分割のほとんど確実収束列を構成し、偶数辺を持つ多角形の非交差ペア分割への結果の拡張も行う。

ABSTRACT

We give a short proof that a uniform noncrossing partition of the regular $n$-gon weakly converges toward Aldous's Brownian triangulation of the disk, in the sense of the Hausdorff topology. This result was first obtained by Curien & Kortchemski, using a more complicated encoding. Thanks to a result of Marchal on strong convergence of Dyck paths toward the Brownian excursion, we furthermore give an algorithm that allows to recursively construct a sequence of uniform noncrossing partitions for which the previous convergence holds almost surely. In addition, we also treat the case of uniform noncrossing pair partitions of even-sided polygons.

研究の動機と目的

• 正n角形の均一非交差分割がブラウン三角形分割に弱収束することの、より簡単で直接的な証明を提供すること。
• ドリフトパス符号化を用いた再帰的系列の構成により、ほとんど確実収束を確立すること。
• 偶数辺を持つ多角形の均一非交差ペア分割に対しても収束結果を拡張すること。
• 最大ラミネーションの性質を用いて、極限ラミネーションがほとんど確実にブラウン三角形分割であることを示すこと。

提案手法

• 本稿は、非交差分割をドリフトパスに符号化し、非交差分割と長さ2nのドリフトパスとの間の双対性を活用する。
• スケーリングされたドリフトパスがブラウン運動の拡張に強い収束することを示すマーチャルの結果を適用し、パス符号化のほとんど確実収束を保証する。
• ドリフトパス符号化の収束は、関連するラミネーションのハウスドルフ位相における収束を示唆する。
• 非交差ペア分割の場合は、クレヴェラス補完と長さ2nの制約なしのドリフトパスを用い、スケーリング下でこれもブラウン運動の拡張に収束する。
• 頂点の挿入またはコードのスライスを再帰的に行うアルゴリズムを構築し、これはドリフトパス上の特定の操作に対応する。
• ブラウン三角形分割が包含関係においてほとんど確実に最大であることから、それが等しい極限ラミネーションはブラウン三角形分割そのものであることが証明に用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正n角形の均一非交差分割は、ハウスドルフ位相においてブラウン三角形分割に弱収束するか？
• RQ2 再帰的構成アルゴリズムを用いて、この収束をほとんど確実収束に強化できるか？
• RQ3 偶数辺を持つ多角形の均一非交差ペア分割に対しても、同様の収束結果が成り立つか？
• RQ4 非交差分割のドリフトパス符号化は、それらのラミネーションがブラウン三角形分割に収束することとどのように関係するか？

主な発見

• 正n角形の均一非交差分割は、ハウスドルフ位相においてブラウン三角形分割に弱収束する。
• マーチャルの強い収束結果を応用し、ドリフトパス操作に基づく再帰的構成により、収束はほとんど確実に達成される。
• 極限ラミネーションは、それが最大かつラミネーションであることから、ほとんど確実にブラウン三角形分割である。
• P_{2n}の非交差ペア分割についても、収束はブラウン三角形分割に成立し、符号化されたドリフトパスはスケーリング後にブラウン運動の拡張に収束する。
• 非交差分割のラミネーションとそれに対応するP_{2n}の非交差ペア分割との間のハウスドルフ距離は、π/(2n)以下である。