[論文レビュー] Convergence order of upwind type schemes for transport equations with discontinuous coefficients

François Delarue, Frédéric Lagoutière+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 36被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、不連続で片側リプシッツ連続な係数をもつ線形輸送方程式に対するアップウインド型有限体積スキームの収束順序を分析する。 Wasserstein距離 $W_p$ における収束率 $1/2$ を確立し、与えられた条件下で最適性を証明する。また、前向き半ラグランジュ法を含む他の一階スキームに対しても結果を拡張する。

ABSTRACT

An analysis of the error of the upwind scheme for transport equation with discontinuous coefficients is provided. We consider here a velocity field that is bounded and one-sided Lipschitz continuous. In this framework, solutions are defined in the sense of measures along the lines of Poupaud and Rascle's work. We study the convergence order of the upwind scheme in the Wasserstein distances. More precisely, we prove that in this setting the convergence order is 1/2. We also show the optimality of this result. In the appendix, we show that this result also applies to other "diffusive" "first order" schemes and to a forward semi-Lagrangian scheme.

研究の動機と目的

• 不連続係数をもつ線形輸送方程式に対するアップウインド型スキームの誤差収束を分析すること。
• 速度場の片側リプシッツ連続性の下で、測度値解として定義された解について、Wasserstein距離における収束順序を確立すること。
• この設定において $1/2$ の収束順序が最適であることを証明すること。
• 他の一階保存的スキーム、特に前向き半ラグランジュスキームを含む収束結果への拡張を行うこと。

提案手法

• 測度値解の枠組みを用い、フィリッポフの流れとプーパ・ラスクラの解の概念を用いる。
• Wasserstein距離 $W_p$ において収束を分析し、速度場の片側リプシッツ（OSL）条件の下で安定性および誤差推定を活用する。
• 主な技術的道具として、[11] から適応された確率的特性構成を用い、スキームの数値解における誤差を抑え込む。
• アップウインドスキームにおける遷移確率 $\lambda^{n}_{i,j}$ のバインディングにより、質量移動誤差を制御する。
• 全 Variation と Wasserstein 誤差を結びつけるために、$L^1$ ノルム、BV 半ノルム、$W_1$ 距離の間の補間不等式を用いる。
• 保存的で一階の離散化の共通枠組みを通じて、他のスキームへの結果の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続で片側リプシッツ連続な係数をもつ輸送方程式に対するアップウインドスキームの収束順序は何か？
• RQ2 解が測度値である場合に、Wasserstein距離において収束順序を定量的に評価できるか？
• RQ3 片側リプシッツ条件の下で、$1/2$ の収束順序は最適か？
• RQ4 収束結果は、前向き半ラグランジュスキームを含む他の一階保存的スキームへも拡張可能か？

主な発見

• 速度場に片側リプシッツ（OSL）条件が成り立つ下で、Wasserstein距離 $W_p$（$p \geq 1$）においてアップウインドスキームは $1/2$ の収束順序を示す。
• 反例を構築することで、$1/2$ の収束順序が最適であることが示された。
• 誤差境界は $W_p(\rho(t^n), \rho_{\Delta x}^n) \leq C e^{2\int_0^{t^n} \alpha(s)ds} (\sqrt{t^n \Delta x} + \Delta x)$ の形をとり、$C$ は $\Delta x$ に依存しない。
• 他の保存的で一階のスキームに対しても、同様の仮定の下で結果が拡張可能である。
• 初期データが $p$ 階モーメントを有限にもつ確率測度であれば、Wasserstein空間における可積分性が保証される。
• 誤差制御に不可欠な、$L^1$ ノルム、BV 半ノルム、$W_1$ 距離を結ぶ新しい補間不等式が、証明の根幹をなしている。