[論文レビュー] Convergence Properties of Adaptive Systems and the Definition of Exponential Stability

Benjamin Jenkins, Anuradha M. Annaswamy+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2015

Adaptive Control of Nonlinear Systems被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、適応系における一様漸近的安定性（UASL）と指数的安定性（ESL）の違いを明確にし、参照入力の持続的励起（persistent excitation）が、帰属ベクトルの弱い持続的励起（weak persistent excitation）をのみ保証するため、UASLは達成可能だがESLには至らないことを示している。開 loop（ORM）および閉 loop（CRM）の参照モデル適応系において、収束が遅くなる領域が存在し、初期条件が大きいほど収束速度が低下することを示し、参照入力の豊かさに基づくグローバル指数的安定性の主張を否定している。

ABSTRACT

The convergence properties of adaptive systems in terms of excitation conditions on the regressor vector are well known. With persistent excitation of the regressor vector in model reference adaptive control the state error and the adaptation error are globally exponentially stable, or equivalently, exponentially stable in the large. When the excitation condition however is imposed on the reference input or the reference model state it is often incorrectly concluded that the persistent excitation in those signals also implies exponential stability in the large. The definition of persistent excitation is revisited so as to address some possible confusion in the adaptive control literature. It is then shown that persistent excitation of the reference model only implies local persistent excitation (weak persistent excitation). Weak persistent excitation of the regressor is still sufficient for uniform asymptotic stability in the large, but not exponential stability in the large. We show that there exists an infinite region in the state-space of adaptive systems where the state rate is bounded. This infinite region with finite rate of convergence is shown to exist not only in classic open-loop reference model adaptive systems, but also in a new class of closed-loop reference model adaptive systems.

研究の動機と目的

• 持続的励起が参照入力に課された場合の、一様漸近的安定性（UASL）と指数的安定性（ESL）の同等性について、適応制御文献における混乱を解消すること。
• 参照入力の豊かさに起因する初期条件依存の性質としての「弱い持続的励起」を定義・分析すること。
• 豊かな参照入力が与えられても、収束速度の非一様性のため、適応系が指数的安定性に到達できないことを示すこと。
• 状態空間に、誤差収束が任意に遅くなる無限の領域が存在し、指数的安定性に基づくロバストネスの主張を根底から覆すことを示すこと。
• これらの結果を、新たなクラスの閉ループ参照モデル（CRM）に基づく適応系に拡張し、開ループ系と同様の収束行動を確認すること。

提案手法

• 強い（帰属ベクトル駆動型）と弱い（参照入力駆動型）励起条件を区別するため、持続的励起の定義を再考すること。
• 異なる励起仮定の下でのモデル参照適応制御系の誤差ダイナミクスを分析し、特に帰属ベクトルの励起レベルに注目すること。
• 参照入力が持続的励起されている場合に帰属ベクトルが弱い持続的励起を示す条件を導出し、これが指数的安定性には不十分であることを示すこと。
• 開ループ（ORM）および閉ループ（CRM）の参照モデル適応系の位相図と時系列シミュレーションを用いて、収束行動を可視化すること。
• さまざまな初期条件における定常時間 $T_s$ を定量的に評価し、初期誤差ノルムが大きくなるほど収束速度が低下することを示し、非指数的収束を裏付けること。
• ORMとCRM系の過渡応答を比較し、CRMは振動を低減するが、大きな初期誤差では収束速度が向上しないことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 参照入力の持続的励起は、適応系において指数的安定性を保証するか？
• RQ2 参照入力の豊かさと内部の帰属ベクトルの持続的励起レベルの関係は何か？
• RQ3 一様漸近的安定性（UASL）が指数的安定性（ESL）なしに達成可能であり得るか？そのロバストネスへの影響は？
• RQ4 状態空間に収束速度が任意に遅くなる領域が存在するか？この領域は開ループおよび閉ループの参照モデル適応系の両方に存在するか？
• RQ5 閉ループ参照モデルにおけるフィードバックゲイン $\ell$ の選択が、開ループ系と比較して収束速度および過渡応答に与える影響は何か？

主な発見

• 参照入力の持続的励起は、初期条件依存の帰属ベクトルの弱い持続的励起を引き起こし、これは指数的安定性に不十分である。
• 誤差ダイナミクスは一様漸近的安定性（UASL）を示すが、収束速度の非一様性のため指数的安定性（ESL）には至らない。
• 状態空間に、誤差速度のノルムが有界である無限の領域が存在し、これにより初期条件が大きい場合に収束が任意に遅くなる。
• 初期条件 $z_4$、$z_5$、$z_6$ に対して、ORM系では定常時間 $T_s$ が 5.37 から 8.19 秒、CRM系では 3.69 から 12.74 秒の範囲にあり、初期誤差が大きいほど $T_s$ が長くなる。
• 同じ初期条件 $z_6$ に対し、CRM系は振動が少ないが収束がORM系より遅く、滑らかさと速度のトレードオフが生じている。
• 適応ゲイン $\gamma$ をフィードバックゲイン $\ell$ と併せて増加させることで、ORMと同等の定常時間を維持しながら、CRM系の振動を低減できる。