[論文レビュー] Convergence rate for a Radau collocation method applied to unconstrained optimal control

William W. Hager, Hongyan Hou+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、非制約最適制御問題に適用されたラダウコロケーション法について、指数的収束率を確立する。ラダウ求積点のうち片方の端点をコロケーション点として用いることで、滑らかさおよび強い凸性の条件下で、コロケーション点数に関して指数的（スペクトル的）収束が達成される。これは、離散的定式化における構造的差異にもかかわらず、ガウスベースのコロケーションと同一の収束率を達成する。

ABSTRACT

A local convergence rate is established for an orthogonal collocation method based on Radau quadrature applied to an unconstrained optimal control problem. If the continuous problem has a sufficiently smooth solution and the Hamiltonian satisfies a strong convexity condition, then the discrete problem possesses a local minimizer in a neighborhood of the continuous solution, and as the number of collocation points increases, the discrete solution convergences exponentially fast in the sup-norm to the continuous solution. An earlier paper analyzes an orthogonal collocation method based on Gauss quadrature, where neither end point of the problem domain is a collocation point. For the Radau quadrature scheme, one end point is a collocation point.

研究の動機と目的

• 非制約最適制御問題におけるラダウコロケーション法の局所的収束率を確立すること。
• コロケーション点数を増加させた際の離散解が連続解にどのように収束するかを分析すること。
• 構造的差異にもかかわらず、ラダウスキームがガウスベースのコロケーションと同一の指数的収束率を達成することを示すこと。
• 終端制約の実装が有利であるため、hp離散化フレームワークにおけるラダウコロケーションの使用に理論的根拠を提供すること。

提案手法

• 本手法は、片方の端点（t=+1）を含むラダウ求積点に基づく直交コロケーションを採用する。
• 離散最適制御問題は、N点におけるコロケーションされた運動方程式と初期条件を満たすコスト関数の最小化として定式化される。
• 状態および制御は、次数が最大Nの多項式で近似され、運動方程式はラダウ点τ₁ < … < τ_N = +1で強制される。
• 離散アドジョイント系が導出され、微分行列D^‡の構造が解析され、逆行列の存在および安定性が保証される。
• 理論的分析は、ラグランジュ補間および直交コロケーションの性質に依拠し、微分行列の逆行列に関する境界が用いられる。
• 収束証明は、ハミルトニアンの強い凸性および解の滑らかさに依拠し、ノルムにおける指数的減衰を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な滑らかさおよび凸性仮定の下で、ラダウコロケーション法は非制約最適制御問題に対して指数的収束を達成するか？
• RQ2 コロケーション点の配置に構造的差異があるにもかかわらず、ラダウスキームの収束率はガウスコロケーション法と比較してどうなるか？
• RQ3 ラダウスキームにおける終端コロケーション点の役割は何か？また、これは終端制約の条件付けおよび実装にどのように影響するか？
• RQ4 コロケーション点数を増加させた際、離散解が連続解に局所的にノルムで収束するかを示せるか？
• RQ5 微分行列D^‡の逆行列の境界は何か？また、これらは手法の安定性および収束にどのように影響するか？

主な発見

• コロケーション点数Nを増加させることで、離散解は連続解に対してノルムで指数的かつ高速に収束する。
• 連続解がη+1回連続微分可能でη ≥ 3であると仮定すると、ノルムにおける誤差はO(N^{2−η})で有界である。
• 構造的差異（非対称構造および終端境界におけるコロケーション点）にもかかわらず、ラダウコロケーション法の収束率はガウスコロケーション法と同一である。
• 微分行列D^‡の逆行列が明示的に導出され、ラグランジュ基底関数および求積重みを用いて表現される。
• 数値実験により、観測された収束率が理論的予測と整合し、指数的であることが確認された。
• D^‡⁻¹およびD^‡⁻¹W⁻¹/²の各行ノルムは有界であり、Nが増加するにつれてそれぞれ2および√2に収束する。これは数値的安定性を示している。