[논문 리뷰] Convergence to the Mahler measure and the distribution of periodic points for algebraic Noetherian $\mathbb{Z}^d$-actions

Vesselin Dimitrov|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 15.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 56인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고정된 아르키메데스 임베딩 하에서, $ℝ^d$의 $N$- torsion 점 $ζ \in \mu_N^d$ 위에서 $\log|P(\boldsymbol{\zeta})|$의 평균이 $N \to \infty$일 때 라우렌트 다항식 $P$의 마러 측도로 수렴함을 확립한다. 이 결과는 컴팩트 아벨 군 위의 노이터리안 $ℤ^d$-작용에서 주기점 성분의 성장률이 위상 엔트로피와 일치하는 지수적 성장을 보임을 시사하며, 그 하르 측도는 최대 엔트로피 측도로 등분포한다.

ABSTRACT

For every $P \in \mathbb{Z}[x_1^{\pm 1}, \ldots, x_d^{\pm 1}] \setminus \{0\}$, and every $\varepsilon > 0$, we prove that there are a computable function $M = M(d,\varepsilon,°{P},h(P)) < \infty$ and a finite union $Z = Z(d,\varepsilon,°{P},h(P))$ of proper torsion cosets $\boldsymbolμ T \subsetneq \mathbb{G}_m^d$ such that, for every $N \in \mathbb{N}$, $Z$ contains all but at most $M$ of the torsion points $\boldsymbolζ \in μ_N^d$ satisfying $|P(\boldsymbolζ)| < e^{-\varepsilon ϕ(N)}$. This extends a well known structural theorem from torsion points lying exactly on a variety to torsion points lying very near to the subvariety. As a consequence, we prove that the averages of $\log{|P(\mathbf{x})|}$ over $μ_N^d$ converge as $N o \infty$ to the Mahler measure of $P$. By the work of B. Kitchens, D. Lind, K. Schmidt and T. Ward, the convergence consequence amounts to the following statement in dynamics: For every Noetherian $\mathbb{Z}^d$-action $T : \mathbb{Z}^d o \mathrm{Aut}(X)$ by automorphisms of a compact abelian group $X$ having a finite topological entropy $h(T)$, the exponential growth rate of the number of connected components of the group $\mathrm{Per}_N(T)$ of $N \cdot \mathbb{Z}^d$-periodic points of $(X,T)$ exists as $N o \infty$, and equals the topological entropy $h(T)$. Moreover, it follows that all weak-$*$ limit measures of the push-forwards of the Haar measures on $\mathrm{Per}_N(T)$, under any a sequence of positive integers $N$, are measures of maximum entropy $h(T)$. Our main arithmetic result extends to Diophantine approximation by points of sufficiently small canonical height. It is best possible in such a generality, where an exceptional set is an inevitable feature.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 아벨 군 위의 노이터리안 $ℤ^d$-작용에서 주기점의 渐近 성장률에 관한 동역학계 이론에서 오랫동안 열려있던 문제를 해결하기 위해.
• 이러한 작용에서 $\mathrm{Per}_N(T)$의 연결 성분 수의 지수적 성장률이 위상 엔트로피 $h(T)$로 수렴함을 증명하기 위해.
• 유한 엔트로피와 노이터리안 조건 하에서, $\mathrm{Per}_N(T)$ 위의 정규화된 하르 측도의 약한-* 극한이 최대 엔트로피 측도임을 보이기 위해.
• 다항점의 디오판틴 스케일링 근사와 동역학적 등분포를 연결함으로써 수론적 및 동역학적 관점을 통합하기 위해.
• 기존의 에르고딕 이론적 방법과 보완되는 새로운 수론적 접근을 통해 주기 궤도의 등분포를 확립하기 위해.

제안 방법

• 모든 유한 집합에 대해 $\mathbb{G}_m^d(\overline{\mathbb{Q}})$ 내의 $N$- torsion 점에서 대수적 부분다양체까지의 거리에 대해 하위-리우빌 경계를 확립한다.
• 이 경계를 적용하여, $P(\boldsymbol{\zeta}) \neq 0$인 $\boldsymbol{\zeta} \in \mu_N^d$ 위에서 $\log|P(\boldsymbol{\zeta})|$의 평균이 $N \to \infty$일 때 $P$의 마러 측도로 수렴함을 보인다.
• 킨치스, 린드, 샤우드, 워드의 작업을 통해 대수적 $ℤ^d$-작용과 그 주기점 구조 사이의 동역학적 이중성을 활용한다.
• 이중군 $X$ 위에서 조화 분석과 교환 대수학을 적용하여 $\mathrm{Per}_N(T)$ 위의 하르 측도의 등분포를 유도한다.
• 탐강 레의 작업을 통해 동치 코어의 호모로지에서의 토르션 성장 문제의 아벨 경우를 해결함으로써 결과를 연결한다.
• 오목 구조 내 정의 가능한 집합에 대한 하베거의 디오판틴 스케일링 근사 결과를 통해 대안적 증명 경로를 개략적으로 제시하며, 그 경계로부터 수렴이 유도됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노이터리안 $ℤ^d$-작용에서 컴팩트 아벨 군 위의 $\mathrm{Per}_N(T)$의 연결 성분 수의 지수적 성장률이 위상 엔트로피 $h(T)$로 수렴하는가?
• RQ2 모든 $N \to \infty$일 때, $\mathrm{Per}_N(T)$ 위의 정규화된 하르 측도가 최대 엔트로피 측도로 등분포하는가?
• RQ3 $\mu_N^d$ 내의 $N$- torsion 점 $\boldsymbol{\zeta}$ 위에서 $\log|P(\boldsymbol{\zeta})|$의 평균이 마러 측도로 수렴하는가?
• RQ4 대수적 집합으로의 토르션 점 근사에 대한 수론적 경계를 통해 평균의 마러 측도로의 수렴을 확립할 수 있는가?
• RQ5 오목 구조 내 정의 가능한 집합에 대한 디오판틴 스케일링 근사 결과로부터 주기점의 동역학적 등분포를 유도할 수 있는가?

주요 결과

• $P(\boldsymbol{\zeta}) \neq 0$인 $N$- torsion 점 $\boldsymbol{\zeta} \in \mu_N^d$ 위에서 $\log|P(\boldsymbol{\zeta})|$의 평균이 $N \to \infty$일 때 마러 측도로 수렴한다.
• 모든 유한 위상 엔트로피 $h(T)$를 갖는 노이터리안 $ℤ^d$-작용 $T$에 대해, $\mathrm{Per}_N(T)$의 연결 성분 수는 $e^{(1+o(1))h(T)N^d}$의 속도로 증가한다.
• $\mathrm{Per}_N(T)$ 위의 하르 측도의 푸시포워드의 모든 약한-* 극한은 최대 엔트로피 $h(T)$를 갖는 측도이다.
• 이 결과는 탐강 레의 작업을 통해, 유한 심플리셜 복합체의 합동 코어 호모로지에서의 토르션 성장 문제의 아벨 경우를 해결한다.
• 하베거의 최근 오목 구조 내 정의 가능한 집합에 대한 디오판틴 스케일링 근사 결과를 통해 대안적 증명 경로가 존재한다.
• 수렴 결과는 반효율적이며, 소형 캐논리컬 높이를 갖는 점으로 일반화 가능하여, 베크의 정리의 고차원 해석과의 연결 고리를 시사한다.